Używanie znaczących liczb i notacji naukowej

Podczas wykonywania pomiaru: naukowiec może osiągnąć tylko określony poziom precyzji, ograniczony albo przez używane narzędzia, albo przez fizyczny charakter sytuacji. Najbardziej oczywistym przykładem jest pomiar odległości.

Zastanów się, co dzieje się podczas pomiaru odległości obiektu poruszonego za pomocą taśmy mierniczej (w jednostkach metrycznych). Taśma miernicza jest prawdopodobnie podzielona na najmniejsze jednostki milimetrów. Dlatego nie ma możliwości pomiaru z dokładnością większą niż milimetr. Jeśli więc obiekt porusza się 57.215493 milimetrów, możemy jedynie stwierdzić na pewno, że poruszył się 57 milimetrów (lub 5,7 centymetrów lub 0,057 metra, w zależności od preferencji w tej sytuacji).

Ogólnie rzecz biorąc, ten poziom zaokrąglania jest w porządku. Dokładne przesunięcie obiektu o normalnej wielkości do milimetr byłoby naprawdę imponującym osiągnięciem. Wyobraź sobie, że próbujesz zmierzyć ruch samochodu z dokładnością do milimetra, a zobaczysz, że generalnie nie jest to konieczne. W przypadkach, w których taka precyzja jest konieczna, będziesz używać narzędzi, które są znacznie bardziej wyrafinowane niż taśma miernicza.

Liczba znaczących liczb w pomiarze nazywana jest liczbą znaczące liczby liczby. We wcześniejszym przykładzie odpowiedź 57-milimetrowa zapewniłaby nam 2 znaczące liczby w naszym pomiarze.

Rozważ liczbę 5200.

O ile nie podano inaczej, ogólnie powszechną praktyką jest zakładanie, że tylko dwie niezerowe cyfry są znaczące. Innymi słowy, zakłada się, że liczba ta była bułczasty do najbliższej setki.

Jeśli jednak liczba zostanie zapisana jako 5200,0, wówczas będzie miała pięć cyfr znaczących. Kropka dziesiętna i zero są dodawane tylko wtedy, gdy pomiary jest precyzyjny do tego poziomu.

Podobnie liczba 2,30 miałaby trzy znaczące liczby, ponieważ zero na końcu wskazuje, że naukowiec dokonujący pomiaru zrobił to na tym poziomie precyzji.

Niektóre podręczniki wprowadziły również konwencję, że kropka dziesiętna na końcu liczby całkowitej również wskazuje znaczące liczby. Więc 800. miałby trzy znaczące liczby, podczas gdy 800 ma tylko jedną znaczącą liczbę. Znowu jest to nieco zmienne w zależności od podręcznika.

Poniżej znajdują się przykłady różnych liczb znaczących, które pomogą utrwalić koncepcję:

Jedna znacząca liczba
4
900
0.00002
Dwie znaczące liczby
3.7
0.0059
68,000
5.0
Trzy znaczące liczby
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (w niektórych podręcznikach)

Liczby naukowe przedstawiają inne reguły matematyki niż te, które wprowadzono na lekcje matematyki. Kluczem w stosowaniu znaczących liczb jest upewnienie się, że zachowujesz ten sam poziom precyzji podczas obliczeń. W matematyce zachowujesz wszystkie liczby od wyniku, podczas gdy w pracy naukowej często zaokrąglasz w oparciu o istotne liczby.

Podczas dodawania lub odejmowania danych naukowych liczy się tylko ostatnia cyfra (cyfra najdalej po prawej). Załóżmy na przykład, że dodajemy trzy różne odległości:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Pierwszy element w problemie dodawania ma cztery znaczące liczby, drugi ma osiem, a trzeci tylko dwa. Dokładność w tym przypadku zależy od najkrótszego miejsca po przecinku. Więc wykonasz obliczenia, ale zamiast 15,2699834 wynik wyniesie 15,3, ponieważ zaokrąglisz do dziesiątej pozycji (pierwsze miejsce po przecinku), ponieważ podczas gdy dwa z Twój pomiary są bardziej precyzyjne, trzeci nie może powiedzieć nic więcej niż dziesiąte miejsce, więc wynik tego problemu z dodawaniem może być tylko tak precyzyjny.

Pamiętaj, że w tym przypadku twoja ostateczna odpowiedź ma trzy znaczące liczby Żaden z twoich liczb początkowych. Może to być bardzo mylące dla początkujących i ważne jest, aby zwrócić uwagę na tę właściwość dodawania i odejmowania.

Z drugiej strony przy pomnażaniu lub dzieleniu danych naukowych liczy się liczba znaczących liczb. Pomnożenie znaczących liczb zawsze będzie skutkować rozwiązaniem, które ma takie same znaczące liczby, jak najmniejsze znaczące liczby, od których zacząłeś. Przejdźmy do przykładu:

5,638 x 3,1

Pierwszy czynnik ma cztery cyfry znaczące, a drugi czynnik ma dwie cyfry znaczące. Twoje rozwiązanie zakończy się zatem dwoma znaczącymi liczbami. W takim przypadku będzie to 17 zamiast 17.4778. Wykonujesz obliczenia następnie zaokrąglij swoje rozwiązanie do prawidłowej liczby znaczących liczb. Dodatkowa precyzja mnożenia nie zaszkodzi, po prostu nie chcesz dawać fałszywego poziomu precyzji w ostatecznym rozwiązaniu.

Fizyka zajmuje się obszarami kosmicznymi od wielkości mniejszej niż proton do wielkości wszechświata. W rezultacie masz do czynienia z bardzo dużymi i bardzo małymi liczbami. Zasadniczo tylko kilka pierwszych z tych liczb jest znaczących. Nikt nie zamierza (ani nie jest w stanie) zmierzyć szerokości wszechświata z dokładnością do milimetra.

Uwaga

Naukowcy używają do łatwego manipulowania tymi liczbami notacja naukowa. Znaczące liczby są wymienione, a następnie pomnożone przez dziesięć do niezbędnej mocy. Prędkość światła jest zapisywana jako: [odcień czarnego cytatu = nie] 2,997925 x 108 m / s

Jest 7 znaczących liczb i jest to znacznie lepsze niż pisanie 299 792,500 m / s.

Uwaga

Ten zapis jest bardzo przydatny do mnożenia. Przestrzegasz wcześniej opisanych zasad pomnożenia liczb znaczących, zachowując najmniejsze liczbę znaczących liczb, a następnie pomnożymy wielkości, co jest zgodne z zasadą addytywności wynoszącą wykładniki. Poniższy przykład powinien pomóc ci to zwizualizować:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produkt ma tylko dwie znaczące liczby, a rząd wielkości wynosi 107, ponieważ 103 x 104 = 107

Dodawanie notacji naukowej może być bardzo łatwe lub bardzo trudne, w zależności od sytuacji. Jeśli warunki są tego samego rzędu wielkości (tj. 4.3005 x 105 i 13,5 x 105), postępuj zgodnie z omówionymi zasadami dodawania wcześniej, utrzymując najwyższą wartość miejsca jako miejsce zaokrąglania i utrzymując taką samą wielkość, jak poniżej przykład:

4 3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Jeśli jednak rząd wielkości jest inny, musisz trochę popracować, aby uzyskać takie same wielkości, jak w następujący przykład, w którym jeden termin ma wielkość 105, a drugi termin ma wielkość 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
lub
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Oba te rozwiązania są takie same, co daje 9 700 000 odpowiedzi.

Podobnie bardzo małe liczby są często zapisywane również w notacji naukowej, choć z wykładnikiem ujemnym wielkości zamiast wykładnika dodatniego. Masa elektronu wynosi:

9.10939 x 10-31 kg

Byłoby to zero, po którym następuje kropka dziesiętna, po której następuje 30 zer, a następnie szereg 6 cyfr znaczących. Nikt nie chce tego pisać, więc notacja naukowa jest naszym przyjacielem. Wszystkie zasady opisane powyżej są takie same, niezależnie od tego, czy wykładnik jest dodatni czy ujemny.

Znaczące liczby są podstawowym środkiem, którego używają naukowcy, aby zapewnić miarę precyzji liczb, których używają. Proces zaokrąglania nadal wprowadza błąd w liczby, jednak w obliczeniach bardzo wysokiego poziomu stosuje się inne metody statystyczne. W przypadku praktycznie całej fizyki, która będzie wykonywana w szkołach średnich i klasach wyższych, jednak prawidłowe użycie znaczących liczb będzie wystarczające do utrzymania wymaganego poziomu precyzja.

Znaczące liczby mogą stanowić poważną przeszkodę, gdy zostaną po raz pierwszy przedstawione uczniom, ponieważ zmieniają niektóre podstawowe zasady matematyczne, których nauczano ich od lat. Przy znaczących liczbach, na przykład 4 x 12 = 50.

Podobnie wprowadzenie notacji naukowej dla studentów, którzy mogą nie być w pełni zadowoleni z wykładników lub reguł wykładniczych, może również powodować problemy. Należy pamiętać, że są to narzędzia, których każdy naukowiec musiał się kiedyś nauczyć, a zasady są w gruncie rzeczy bardzo podstawowe. Problem polega prawie na tym, aby pamiętać, która reguła jest stosowana w danym momencie. Kiedy dodać wykładniki i kiedy je odjąć? Kiedy przesunę kropkę dziesiętną w lewo, a kiedy w prawo? Jeśli nadal będziesz ćwiczyć te zadania, będziesz w nich lepszy, dopóki nie staną się drugą naturą.

Wreszcie utrzymanie odpowiednich jednostek może być trudne. Pamiętaj, że nie możesz bezpośrednio dodawać centymetrów i metrów, na przykład, ale najpierw należy je przekonwertować na tę samą skalę. Jest to powszechny błąd dla początkujących, ale podobnie jak reszta, jest to coś, co można bardzo łatwo pokonać, spowalniając, zachowując ostrożność i myśląc o tym, co robisz.