Rozkład wykładniczy i zmiana procentowa

Gdy pierwotna kwota zostanie zmniejszona o stałą stawkę przez pewien czas, rozkład wykładniczy występuje. Ten przykład pokazuje, jak pracować ze stałym problemem prędkości lub obliczać współczynnik rozpadu. Kluczem do zrozumienia czynnika rozpadu jest poznanie zmiana procentowa.

Poniżej znajduje się wykładnicza funkcja rozpadu:

y = a (1 – b)^x

gdzie:

• „y” to końcowa kwota pozostała po rozpadzie w danym okresie
• „a” to pierwotna kwota
• „x” oznacza czas
• Współczynnik zaniku wynosi (1 – b).
• Zmienna b jest procentową zmianą w postaci dziesiętnej.

Ponieważ jest to wykładniczy czynnik rozpadu, w tym artykule skupiono się na spadku procentowym.

Trzy przykłady pomagają zilustrować sposoby znalezienia procentowego spadku:

Grecja przeżywa ogromne trudności finansowe, ponieważ jest winna więcej pieniędzy niż jest w stanie spłacić. W rezultacie rząd Grecji stara się zmniejszyć, ile wydaje. Wyobraź sobie, że ekspert powiedział greckim przywódcom, że muszą obniżyć wydatki o 20 procent.

• Jaki jest procentowy spadek wydatków Grecji? 20 procent
• Jaki jest czynnik rozpadu wydatków Grecji?

Współczynnik rozpadu:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

W miarę zmniejszania się Grecji Wydatki rządoweeksperci przewidują, że zadłużenie kraju spadnie. Wyobraź sobie, że roczną wartość zadłużenia kraju można modelować za pomocą tej funkcji:

y = 500 (1 - .30)^x

gdzie „y” oznacza miliardy dolarów, a „x” oznacza liczbę lat od 2009 r.

• Jaki jest procentowy spadek rocznego zadłużenia Grecji? 30 procent
• Jaki jest czynnik rozpadu rocznego zadłużenia Grecji?

Współczynnik rozpadu:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Po zmniejszeniu przez Grecję usług rządowych i wynagrodzeń, wyobraź sobie, że te dane opisują prognozowany roczny dług Grecji.

• 2009: 500 miliardów dolarów
• 2010: 475 miliardów dolarów
• 2011: 451,25 mld USD
• 2012: 428,69 mld USD

ZA. Wybierz dwa kolejne lata do porównania: 2009: 500 miliardów dolarów; 2010: 475 miliardów dolarów

B. Użyj tej formuły:

Spadek procentowy = (starszy - nowszy) / starszy:

(500 miliardów - 475 miliardów) / 500 miliardów = 0,05 lub 5 procent

DO. Sprawdź spójność. Wybierz dwa kolejne lata: 2011: 451,25 mld USD; 2012: 428,69 mld USD

(451,25 - 428,69) / 451,25 wynosi około 0,05 lub 5 procent

Sól to blask amerykańskich stojaków na przyprawy. Brokat przekształca papier budowlany i surowe rysunki w cenione karty Dnia Matki; sól przekształca w przeciwnym razie nijaką żywność w ulubione produkty krajowe. Obfitość soli w chipsach ziemniaczanych, popcornie i pasztecie fascynuje kubki smakowe.

Niestety, zbyt duży smak może zepsuć dobrą rzecz. Nadmiar soli w rękach osób o ciężkich rękach może prowadzić do wysokiego ciśnienia krwi, zawałów serca i udarów mózgu. Niedawno prawodawca ogłosił przepisy, które zmusiłyby obywateli i mieszkańców USA do ograniczenia spożywanej przez nich soli. Co się stanie, jeśli uchwalone zostanie prawo dotyczące zmniejszania zawartości soli, a Amerykanie zaczną spożywać mniej tego minerału?

Załóżmy, że każdego roku restauracje musiały obniżać poziom sodu o 2,5 procent rocznie, począwszy od 2017 roku. Przewidywany spadek zawałów serca można opisać następującą funkcją:

y = 10 000 000 (1 - .10)^x

gdzie „y” oznacza roczną liczbę zawałów serca po latach „x”.

Najwyraźniej przepisy byłyby warte swojej soli. Amerykanie byliby dotknięci mniejszą liczbą pociągnięć. Oto fikcyjne prognozy rocznych uderzeń w Ameryce:

• 2016: 7 milionów uderzeń
• 2017: 6 650 000 uderzeń
• 2018: 6 317 500 uderzeń
• 2019: 6001625 uderzeń

Jaki jest obowiązkowy procentowy spadek zużycia soli w restauracjach?

Odpowiedź: 2,5 procent

Wyjaśnienie: Przewiduje się, że trzy różne rzeczy - poziomy sodu, zawały serca i udary mózgu - spadną. Każdego roku restauracje musiały obniżać poziom sodu o 2,5 procent rocznie, począwszy od 2017 roku.

Jaki jest obowiązkowy czynnik rozpadu zużycia soli w restauracjach?

Odpowiedź: .975

Objaśnienie: Współczynnik rozpadu:

(1 - b) = (1 - .025) = .975

Na podstawie prognoz, jaki byłby procentowy spadek rocznych zawałów serca?

Odpowiedź: 10 procent

Objaśnienie: Przewidywany spadek zawałów serca można opisać następującą funkcją:

y = 10 000 000 (1 - .10) x

gdzie „y” oznacza roczną liczbę zawałów serca po latach „x”.

W oparciu o prognozy, jaki będzie czynnik rozpadu rocznych zawałów serca?

Odpowiedź: 0,90

Objaśnienie: Współczynnik rozpadu:

(1 - b) = (1 - .10) = .90

Na podstawie tych fikcyjnych prognoz, jaki będzie procentowy spadek liczby udarów w Ameryce?

Odpowiedź: 5 procent

Wyjaśnienie:

ZA. Wybierz dane dla dwóch kolejnych lat: 2016: 7 000 000 uderzeń; 2017: 6 650 000 uderzeń

B. Użyj tej formuły: Procent zmniejszenia = (starszy - nowszy) / starszy

(7 000 000 - 6 650 000) / 7 000 000 = 0,05 lub 5 procent

DO. Sprawdź spójność i wybierz dane dla kolejnego zestawu kolejnych lat: 2018: 6 317 500 uderzeń; 2019: 6001625 uderzeń

Spadek procentowy = (starszy - nowszy) / starszy

(6 317 500 - 6 001 625) / 6 001 625 około 0,05 lub 5 procent

Na podstawie tych fikcyjnych prognoz, jaki będzie czynnik rozpadu udarów mózgu w Ameryce?

Odpowiedź: 0,95

Objaśnienie: Współczynnik rozpadu:

(1 - b) = (1 - .05) = 0,95

Edytowany przez Dr Anne Marie Helmenstine