Jednym ze sposobów obliczenia średniej i wariancji a rozkład prawdopodobieństwa jest znaleźć oczekiwane wartości zmiennych losowych X i X2. Używamy notacji mi(X) i mi(X2) w celu oznaczenia tych oczekiwanych wartości. Zasadniczo trudno to obliczyć mi(X) i mi(X2) bezpośrednio. Aby obejść tę trudność, używamy bardziej zaawansowanych teorii matematycznych i rachunku różniczkowego. Wynik końcowy jest czymś, co ułatwia nasze obliczenia.
Strategią tego problemu jest zdefiniowanie nowej funkcji, nowej zmiennej t nazywa się to funkcją generowania momentu. Ta funkcja pozwala nam obliczyć momenty, po prostu biorąc pochodne.
Założenia
Zanim zdefiniujemy funkcję generowania momentu, zaczynamy od ustawienia sceny z notacją i definicjami. Pozwalamy X być Dyskretna zmienna losowa. Ta zmienna losowa ma funkcję masy prawdopodobieństwa fa(x). Przykładowe miejsce, z którym pracujemy, zostanie oznaczone symbolem S..
Zamiast obliczać oczekiwaną wartość X, chcemy obliczyć oczekiwaną wartość funkcji wykładniczej związanej z
X. Jeśli jest pozytywna prawdziwy numerr takie, że mi(mitX) istnieje i jest skończona dla wszystkich t w przedziale [-r, r], możemy zdefiniować funkcję generowania momentu X.Definicja
Funkcja generowania momentu jest oczekiwaną wartością funkcji wykładniczej powyżej. Innymi słowy, mówimy, że funkcja generująca moment X jest dany przez:
M.(t) = mi(mitX)
Ta oczekiwana wartość to wzór Σ mitxfa (x), w którym suma zostaje przejęta przez wszystkich x w próbka miejscaS.. Może to być suma skończona lub nieskończona, w zależności od użytej przestrzeni próbki.
Nieruchomości
Funkcja generowania momentu ma wiele funkcji, które łączą się z innymi tematami w statystykach prawdopodobieństwa i matematycznych. Niektóre z jego najważniejszych funkcji obejmują:
- Współczynnik mitb jest prawdopodobieństwo, że X = b.
- Funkcje generujące moment mają właściwość unikatowości. Jeśli funkcje generujące moment dla dwóch zmiennych losowych pasują do siebie, to funkcje masy prawdopodobieństwa muszą być takie same. Innymi słowy, zmienne losowe opisują ten sam rozkład prawdopodobieństwa.
- Funkcje generujące momenty można wykorzystać do obliczenia momentów X.
Obliczanie momentów
Ostatni element powyższej listy wyjaśnia nazwę funkcji generujących moment, a także ich przydatność. Niektóre zaawansowane matematyki mówią, że w określonych przez nas warunkach pochodna dowolnej kolejności funkcji M. (t) istnieje dla kiedy t = 0. Ponadto w tym przypadku możemy zmienić kolejność sumowania i różnicowania w odniesieniu do t aby uzyskać następujące wzory (wszystkie sumy przekraczają wartości x w przestrzeni próbki S.):
- M.’(t) = Σ xetxfa (x)
- M.’’(t) = Σ x2mitxfa (x)
- M.’’’(t) = Σ x3mitxfa (x)
- M.(n)’(t) = Σ xnmitxfa (x)
Jeśli ustawimy t = 0 w powyższych formułach, a następnie mitx termin staje się mi0 = 1. W ten sposób otrzymujemy wzory na momenty zmiennej losowej X:
- M.’(0) = mi(X)
- M.’’(0) = mi(X2)
- M.’’’(0) = mi(X3)
- M.(n)(0) = mi(Xn)
Oznacza to, że jeśli istnieje funkcja generowania momentu dla określonej zmiennej losowej, to możemy znaleźć jej średnią i wariancję w kategoriach pochodnych funkcji generującej moment. To znaczy M.„(0), a wariancja jest M.’’(0) – [M.’(0)]2.
streszczenie
Podsumowując, musieliśmy wkroczyć w jakąś dość mocną matematykę, więc niektóre rzeczy zostały przesadzone. Chociaż do powyższego musimy użyć rachunku różniczkowego, ostatecznie nasza praca matematyczna jest zwykle łatwiejsza niż obliczanie momentów bezpośrednio z definicji.