Jak korzystać z „Jeśli i tylko jeśli” w matematyce

Czytając o statystykach i matematyce, regularnie pojawia się fraza „jeśli i tylko jeśli”. Zwrot ten pojawia się szczególnie w stwierdzeniach matematycznych twierdzeń lub dowodów. Ale co dokładnie oznacza to stwierdzenie?

Aby zrozumieć „tylko i tylko wtedy”, musimy najpierw wiedzieć, co należy rozumieć przez zdanie warunkowe. Instrukcja warunkowa to taka, która jest utworzona z dwóch innych instrukcji, które oznaczymy przez P i Q. Aby utworzyć zdanie warunkowe, moglibyśmy powiedzieć „jeśli P to Q”.

Oto przykłady tego rodzaju instrukcji:

• Jeśli na zewnątrz pada deszcz, zabieram ze sobą parasol na spacer.
• Jeśli będziesz ciężko się uczyć, zdobędziesz A.
• Gdyby n jest podzielny przez 4, a zatem n jest podzielny przez 2.

Trzy inne instrukcje są powiązane z dowolnymi instrukcjami warunkowymi. Są to tak zwane odwrotnie, odwrotnie i przeciwnie. Tworzymy te stwierdzenia, zmieniając kolejność P i Q z pierwotnego warunkowego i wstawiając słowo „nie” dla odwrotnego i przeciwnego.

Musimy tylko rozważyć tutaj rozmowę. To stwierdzenie pochodzi z oryginału, mówiąc „jeśli Q to P.” Załóżmy, że zaczniemy od warunkowego „jeśli na zewnątrz pada deszcz, to ja zabierz ze sobą parasol na spacer. ” Odwrotność tego stwierdzenia brzmi: „jeśli zabiorę ze sobą parasol podczas spaceru, wtedy pada deszcz na zewnątrz."

Wystarczy wziąć pod uwagę ten przykład, aby zdać sobie sprawę, że pierwotny warunek nie jest logicznie taki sam jak jego odwrotność. Pomieszanie tych dwóch form wypowiedzi jest znane jako błąd odwrotny. Na spacer można wziąć parasol, choć na zewnątrz nie pada.

W innym przykładzie rozważamy warunek „Jeśli liczba jest podzielna przez 4, to jest podzielna przez 2”. To stwierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Jednak stwierdzenie to: „Jeśli liczba jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4”, jest fałszywa. Musimy tylko spojrzeć na liczbę taką jak 6. Chociaż 2 dzieli tę liczbę, 4 nie. Chociaż oryginalne stwierdzenie jest prawdziwe, jego odwrotność nie jest.

To prowadzi nas do dwuwarunkowej instrukcji, która jest również znana jako instrukcja „jeśli i tylko jeśli”. Niektóre instrukcje warunkowe mają również prawdziwe konwersje. W takim przypadku możemy utworzyć tak zwane oświadczenie dwuwarunkowe. Oświadczenie dwuwarunkowe ma postać:

„Jeśli P to Q, a jeśli Q to P.”

Od tego budowa jest nieco niezręczny, szczególnie gdy P i Q są ich własnymi logicznymi instrukcjami, upraszczamy instrukcję dwuwarunkową za pomocą wyrażenia "wtedy i tylko wtedy gdy." Zamiast powiedzieć „jeśli P to Q, a jeśli Q to P”, zamiast tego mówimy „P wtedy i tylko wtedy, gdy Q”. Ta konstrukcja eliminuje niektóre nadmiar.

Na przykład zdanie „jeśli i tylko jeśli”, które obejmuje statystyki, nie szukaj dalej niż fakt dotyczący odchylenia standardowego próbki. Przykładowe odchylenie standardowe zestawu danych jest równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości danych są identyczne.

Łamiemy to dwuwarunkowe stwierdzenie na warunkowe i odwrotnie. Następnie widzimy, że to stwierdzenie oznacza oba następujące elementy:

• Jeśli odchylenie standardowe wynosi zero, wówczas wszystkie wartości danych są identyczne.
• Jeśli wszystkie wartości danych są identyczne, wówczas odchylenie standardowe jest równe zero.

Jeśli próbujemy udowodnić, że jest to dwuwarunkowy, to w większości przypadków go dzielimy. To sprawia, że ​​nasz dowód składa się z dwóch części. Jedną z części, którą udowodniliśmy, jest „jeśli P to Q”. Druga część dowodu, którego potrzebujemy, to „jeśli Q, to P.”

Stwierdzenia dwuwarunkowe dotyczą warunków, które są zarówno konieczne, jak i wystarczające. Zastanów się nad stwierdzeniem „jeśli dzisiaj jest święta Wielkanocne, więc jutro jest poniedziałek. ” Dzisiaj Wielkanoc jest wystarczająca, aby jutro było poniedziałkiem, ale nie jest to konieczne. Dzisiaj może być każda niedziela inna niż Wielkanoc, a jutro nadal będzie poniedziałek.

Wyrażenie „jeśli i tylko jeśli” jest używane wystarczająco powszechnie w piśmie matematycznym, że ma swój własny skrót. Czasami dwuwarunek w zdaniu „jeśli i tylko jeśli” jest skracany do po prostu „iff”. Zatem wyrażenie „P wtedy i tylko wtedy, gdy Q” staje się „P iff Q”.