Jedno użycie rozkład chi-kwadrat jest z testami hipotez do eksperymentów wielomianowych. Aby zobaczyć, jak to test hipotez działa, zbadamy dwa następujące przykłady. Oba przykłady wykonują ten sam zestaw kroków:
- Stwórz hipotezę zerową i alternatywną
- Oblicz statystyki testu
- Znajdź wartość krytyczną
- Podejmij decyzję, czy odrzucić, czy nie odrzucić naszej hipotezy zerowej.
Przykład 1: uczciwa moneta
W naszym pierwszym przykładzie chcemy spojrzeć na monetę. Rzetelna moneta ma jednakowe prawdopodobieństwo 1/2 zbliżających się głów lub reszków. Rzucamy monetą 1000 razy i rejestrujemy wyniki łącznie 580 głów i 420 ogonów. Chcemy przetestować tę hipotezę przy 95% poziomie pewności, że rzucona przez nas moneta jest uczciwa. Bardziej formalnie Hipoteza zerowaH.0 jest to, że moneta jest uczciwa. Ponieważ porównujemy obserwowane częstotliwości wyników z rzutu monetą z oczekiwanymi częstotliwościami z idealizowanej uczciwej monety, należy zastosować test chi-kwadrat.
Oblicz statystyki chi-kwadrat
Zaczynamy od obliczenia statystyki chi-kwadrat dla tego scenariusza. Istnieją dwa wydarzenia, głowy i ogony. Heads ma obserwowaną częstotliwość
fa1 = 580 z oczekiwaną częstotliwością mi1 = 50% x 1000 = 500. Ogony mają obserwowaną częstotliwość wynoszącą fa2 = 420 z oczekiwaną częstotliwością mi1 = 500.Teraz używamy wzoru na statystyki chi-kwadrat i widzimy to χ2 = (fa1 - mi1 )2/mi1 + (fa2 - mi2 )2/mi2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Znajdź wartość krytyczną
Następnie musimy znaleźć wartość krytyczną dla właściwego rozkładu chi-kwadrat. Ponieważ moneta ma dwa wyniki, należy rozważyć dwie kategorie. Liczba stopnie swobody jest o jeden mniejszy niż liczba kategorii: 2 - 1 = 1. Używamy rozkładu chi-kwadrat dla tej liczby stopni swobody i widzimy to χ20.95=3.841.
Odrzucić czy nie odrzucić?
Na koniec porównujemy obliczoną statystykę chi-kwadrat z wartością krytyczną z tabeli. Od 25,6> 3,841 odrzucamy hipotezę zerową, że jest to uczciwa moneta.
Przykład 2: Sprawiedliwa kostka
Rzetelna kostka ma równe prawdopodobieństwo wyrzucenia 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Rzucamy kostką 600 razy i zauważamy, że rzucamy jeden 106 razy, dwa 90 razy, trzy 98 razy, cztery 102 razy, pięć 100 razy i sześć 104 razy. Chcemy przetestować hipotezę na 95% poziomie pewności, że mamy sprawiedliwą śmierć.
Oblicz statystyki chi-kwadrat
Istnieje sześć zdarzeń, każde o oczekiwanej częstotliwości 1/6 x 600 = 100. Obserwowane częstotliwości to fa1 = 106, fa2 = 90, fa3 = 98, fa4 = 102, fa5 = 100, fa6 = 104,
Teraz używamy wzoru na statystyki chi-kwadrat i widzimy to χ2 = (fa1 - mi1 )2/mi1 + (fa2 - mi2 )2/mi2+ (fa3 - mi3 )2/mi3+(fa4 - mi4 )2/mi4+(fa5 - mi5 )2/mi5+(fa6 - mi6 )2/mi6 = 1.6.
Znajdź wartość krytyczną
Następnie musimy znaleźć wartość krytyczną dla właściwego rozkładu chi-kwadrat. Ponieważ istnieje sześć kategorii wyników dla matrycy, liczba stopni swobody jest o jeden mniejsza niż ta: 6 - 1 = 5. Używamy rozkładu chi-kwadrat dla pięciu stopni swobody i widzimy to χ20.95=11.071.
Odrzucić czy nie odrzucić?
Na koniec porównujemy obliczoną statystykę chi-kwadrat z wartością krytyczną z tabeli. Ponieważ obliczona statystyka chi-kwadrat wynosi 1,6, jest mniejsza niż nasza wartość krytyczna wynosząca 11,071 nie odrzucić hipoteza zerowa.