Jak korzystać z reguły uzupełniania w statystyce

W statystyce reguła dopełniania jest twierdzeniem, które zapewnia związek między prawdopodobieństwem an zdarzenie oraz prawdopodobieństwo dopełnienia zdarzenia w taki sposób, że jeśli znamy jedno z tych prawdopodobieństw, to automatycznie znamy drugie.

Reguła dopełniania przydaje się przy obliczaniu pewnych prawdopodobieństw. Wiele razy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest trudne lub trudne do obliczenia, podczas gdy prawdopodobieństwo jego uzupełnienia jest znacznie prostsze.

Zanim zobaczymy, jak stosowana jest reguła dopełniania, zdefiniujemy dokładnie, co to jest reguła. Zaczynamy od odrobiny notacji. Uzupełnienie wydarzenia ZA, składający się ze wszystkich elementów w próbka miejscaS. które nie są elementami zestawu ZAjest oznaczony przez ZADO.

Reguła dopełniania jest określona jako „suma prawdopodobieństwa zdarzenia, a prawdopodobieństwo jego dopełnienia wynosi 1”, co wyraża się następującym równaniem:

P (ZA^do) = 1 - P (ZA)

Poniższy przykład pokaże, jak używać reguły uzupełniania. Okaże się, że to twierdzenie przyspieszy i uprości obliczenia prawdopodobieństwa.

Załóżmy, że rzucamy ośmioma uczciwymi monetami - jakie jest prawdopodobieństwo, że pokażemy co najmniej jedną głowę? Jednym ze sposobów rozwiązania tego jest obliczenie następujących prawdopodobieństw. Mianownik każdego tłumaczy się tym, że istnieją 2⁸ = 256 wyników, z których każdy jest jednakowo prawdopodobny. Wszystkie poniższe formuły dla kombinacje:

• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie jednej głowy wynosi C (8,1) / 256 = 8/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie dwóch głów to C (8,2) / 256 = 28/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie trzech głów to C (8,3) / 256 = 56/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie czterech głów to C (8,4) / 256 = 70/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie pięciu głów to C (8,5) / 256 = 56/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie sześciu głów to C (8,6) / 256 = 28/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie siedmiu głów to C (8,7) / 256 = 8/256.
• Prawdopodobieństwo przewrócenia dokładnie ośmiu głów to C (8,8) / 256 = 1/256.

To są wzajemnie się wykluczające zdarzenia, więc sumujemy prawdopodobieństwa razem, używając jednego odpowiedniego reguła dodawania. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że mamy co najmniej jedną głowę, wynosi 255 z 256.

Teraz obliczamy to samo prawdopodobieństwo za pomocą reguły uzupełniania. Dopełnieniem wydarzenia „Obracamy co najmniej jedną głowę” jest wydarzenie „Nie ma głów”. Jest na to jeden sposób, który daje nam prawdopodobieństwo 1/256. Używamy reguły dopełniania i stwierdzamy, że nasze pożądane prawdopodobieństwo wynosi jeden minus jeden na 256, co jest równe 255 na 256.

Ten przykład pokazuje nie tylko przydatność, ale także siłę reguły dopełniania. Chociaż w naszym pierwotnym obliczeniu nie ma nic złego, był on dość zaangażowany i wymagał wielu kroków. W przeciwieństwie do tego, kiedy zastosowaliśmy regułę uzupełniania dla tego problemu, nie było tylu kroków, w których obliczenia mogłyby pójść nie tak.