W kontaktach z teoria mnogości, istnieje wiele operacji tworzenia nowych zestawów ze starych. Jedna z najczęstszych operacji na zestawach nazywana jest przecięciem. Mówiąc wprost, przecięcie dwóch zbiorów ZA i b jest zbiorem wszystkich elementów, które oba ZA i b wspólne.
Przyjrzymy się szczegółom dotyczącym przecięcia w teorii mnogości. Jak zobaczymy, kluczowym słowem tutaj jest słowo „i”.
Przykład
Na przykład, w jaki sposób przecięcie dwóch zbiorów tworzy a nowy zestawrozważmy zestawy ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć punkt przecięcia tych dwóch zbiorów, musimy dowiedzieć się, jakie elementy mają ze sobą wspólnego. Liczby 3, 4, 5 są elementami obu zbiorów, dlatego przecięcia z ZA i b to {3. 4. 5].
Notacja do przecięcia
Oprócz zrozumienia pojęć dotyczących operacji teorii mnogości ważna jest umiejętność czytania symboli używanych do oznaczania tych operacji. Symbol skrzyżowania jest czasem zastępowany słowem „i” między dwoma zestawami. To słowo sugeruje bardziej zwartą notację dla zwykle używanego skrzyżowania.
Symbol używany do przecięcia dwóch zbiorów ZA i b jest dany przez ZA ∩ b. Jednym ze sposobów, aby pamiętać, że ten symbol ∩ odnosi się do skrzyżowania, jest zauważenie jego podobieństwa do dużej litery A, która jest skrótem od słowa „i”.
Aby zobaczyć ten zapis w działaniu, odwołaj się do powyższego przykładu. Tutaj mieliśmy zestawy ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Napiszemy więc równanie ZA ∩ b = {3, 4, 5}.
Przecięcie z pustym zestawem
Jedna podstawowa tożsamość, która obejmuje przecięcie, pokazuje nam, co się dzieje, gdy weźmiemy przecięcie dowolnego zestawu z pustym zbiorem, oznaczonym przez # 8709. Pusty zestaw to zestaw bez elementów. Jeśli nie ma żadnych elementów w co najmniej jednym zestawie, którego próbujemy znaleźć przecięcie, wówczas oba zestawy nie mają wspólnych elementów. Innymi słowy, przecięcie dowolnego zestawu z pusty zestaw da nam pusty zestaw.
Ta tożsamość staje się jeszcze bardziej zwarta dzięki naszemu zapisowi. Mamy tożsamość: ZA ∩ ∅ = ∅.
Skrzyżowanie z zestawem uniwersalnym
Z drugiej strony, co się dzieje, gdy badamy przecięcie zestawu z zestawem uniwersalnym? Podobne do słowa wszechświat jest używany w astronomii, aby oznaczać wszystko, uniwersalny zestaw zawiera każdy element. Wynika z tego, że każdy element naszego zestawu jest również elementem zestawu uniwersalnego. Zatem przecięcie dowolnego zestawu z zestawem uniwersalnym jest zestawem, od którego zaczęliśmy.
Ponownie nasz zapis przychodzi na ratunek, aby bardziej zwięźle wyrazić tę tożsamość. Dla każdego zestawu ZA i zestaw uniwersalny U, ZA ∩ U = ZA.
Inne tożsamości związane z skrzyżowaniem
Istnieje wiele innych zestawów równań, które wymagają użycia operacji przecięcia. Oczywiście zawsze dobrze jest ćwiczyć używając języka teorii mnogości. Do wszystkich zestawów ZA, i b i re mamy:
- Właściwość zwrotna: ZA ∩ ZA =ZA
- Własność przemienna: ZA ∩ b = b ∩ ZA
- Łączność: (ZA ∩ b) ∩ re =ZA ∩ (b ∩ re)
- Właściwość dystrybucyjna: (ZA ∪ b) ∩ re = (ZA ∩ re)∪ (b ∩ re)
- Prawo DeMorgan I: (ZA ∩ b)do = ZAdo ∪ bdo
- Prawo DeMorgan II: (ZA ∪ b)do = ZAdo ∩ bdo