Funkcje wykładnicze opowiedz historie wybuchowych zmian. Dwa typy funkcji wykładniczych to wzrost wykładniczy i rozkład wykładniczy. Cztery zmienne (zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu) odgrywają rolę w funkcjach wykładniczych. Użyj funkcji rozkładu wykładniczego, aby znaleźć kwotę na początku okresu.
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy to zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zmniejszana o stałą stawkę przez pewien okres czasu.
Oto wykładnicza funkcja rozpadu:
y = za(1-b)x
- y: Ostateczna kwota pozostała po rozpadzie w danym okresie
- za: Oryginalna kwota
- x: Czas
- Współczynnik rozpadu wynosi (1-b)
- Zmienna b to procent zmniejszenia liczby dziesiętnej.
Cel znalezienia oryginalnej kwoty
Jeśli czytasz ten artykuł, prawdopodobnie jesteś ambitny. Za sześć lat być może chcesz kontynuować licencjat na Dream University. Przy cenie 120 000 $ Dream University wywołuje nocne lęki finansowe. Po nieprzespanych nocach ty, mama i tata spotykacie się z planistą finansowym. Przekrwione oczy twoich rodziców rozjaśniają się, gdy planista ujawnia, że inwestycja z ośmioprocentową stopą wzrostu może pomóc twojej rodzinie osiągnąć cel 120 000 $. Ucz się ciężko. Jeśli ty i twoi rodzice zainwestujecie dzisiaj 75 620,36 USD, Dream University stanie się waszą rzeczywistością dzięki gwałtownemu rozkładowi.
Jak rozwiązać
Ta funkcja opisuje wykładniczy wzrost inwestycji:
120,000 = za(1 +.08)6
- 120 000: Ostateczna kwota pozostała po 6 latach
- .08: Roczna stopa wzrostu
- 6: Liczba lat wzrostu inwestycji
- za: Początkowa kwota, którą zainwestowała Twoja rodzina
Dzięki symetrycznej właściwości równości 120 000 = za(1 +.08)6 jest taki sam jak za(1 +.08)6 = 120,000. Symetryczna właściwość równości mówi, że jeśli 10 + 5 = 15, to 15 = 10 + 5.
Jeśli wolisz przepisać równanie ze stałą (120 000) po prawej stronie równania, zrób to.
za(1 +.08)6 = 120,000
To prawda, że równanie nie wygląda jak równanie liniowe (6za = 120 000 USD), ale jest do rozwiązania. Zostać przy tym!
za(1 +.08)6 = 120,000
Nie rozwiązuj tego równania wykładniczego, dzieląc 120 000 przez 6. To kusząca matematyka nie-nie.
1. Aby uprościć, użyj kolejności operacji
za(1 +.08)6 = 120,000
za(1.08)6 = 120 000 (nawias)
za(1.586874323) = 120 000 (wykładnik)
2. Rozwiąż przez działowy
za(1.586874323) = 120,000
za(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1za = 75,620.35523
za = 75,620.35523
Pierwotna kwota do zainwestowania wynosi około 75 620,36 USD.
3. Freeze: Jeszcze nie skończyłeś; użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź
120,000 = za(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Nawias)
120 000 = 75 620 355523 (1,586874323) (wykładnik)
120 000 = 120 000 (mnożenie)
Odpowiedzi i objaśnienia do pytań
Woodforest w Teksasie, na przedmieściach Houston, jest zdeterminowany, by zlikwidować przepaść cyfrową w swojej społeczności. Kilka lat temu przywódcy społeczności odkryli, że ich obywatele nie umieją obsługiwać komputera. Nie mieli dostępu do Internet i zostali odcięci od autostrady informacyjnej. Liderzy utworzyli World Wide Web on Wheels, zestaw mobilnych stacji komputerowych.
World Wide Web on Wheels osiągnął cel, jakim jest jedynie 100 niepiśmiennych obywateli w Woodforest. Liderzy społeczności badali miesięczne postępy World Wide Web na kołach. Według danych spadek liczby analfabetów komputerowych można opisać następującą funkcją:
100 = za(1 - .12)10
1. Ile osób jest analfabetami komputerowymi 10 miesięcy po powstaniu sieci WWW na kołach?
- 100 osób
Porównaj tę funkcję z oryginalną funkcją wzrostu wykładniczego:
100 = za(1 - .12)10
y = za(1 + b)x
The zmiennay reprezentuje liczbę analfabetów komputerowych na koniec 10 miesięcy, więc 100 osób wciąż nie umie czytać i pisać po tym, jak World Wide Web on Wheels zaczął działać w społeczności.
2. Czy ta funkcja reprezentuje rozkład wykładniczy lub wzrost wykładniczy?
- Ta funkcja reprezentuje rozkład wykładniczy, ponieważ znak ujemny znajduje się przed zmianą procentową (.12).
3. Jaka jest miesięczna stopa zmian?
- 12 procent
4. Ile osób było analfabetami komputerowymi 10 miesięcy temu na początku WWW na kołach?
- 359 osób
Posługiwać siękolejność operacji ułatwiać.
100 = za(1 - .12)10
100 = za(.88)10 (Nawias)
100 = za(.278500976) (wykładnik)
Podziel się, aby rozwiązać.
100(.278500976) = za(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1za
359.0651689 = za
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Nawias)
100 = 359,0651689 (.278500976) (wykładnik)
100 = 100 (pomnóż)
5. Jeśli te tendencje się utrzymają, ile osób będzie analfabetów komputerowych 15 miesięcy po powstaniu World Wide Web on Wheels?
- 52 osoby
Dodaj, co wiesz o funkcji.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Aby znaleźć, użyj kolejności operacji y.
y = 359.0651689(.88)15 (Nawias)
y = 359,0651689 (.146973854) (wykładnik)
y = 52,77319167 (pomnóż).