Jak uzyskać wzór na kombinacje

Po obejrzeniu wzorów wydrukowanych przez nauczyciela w podręczniku lub zapisanych na tablicy czasami jest to zaskakujące aby dowiedzieć się, że wiele z tych wzorów można wyprowadzić z pewnych podstawowych definicji i dokładnego przemyślenia. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku prawdopodobieństwa przy badaniu wzoru na kombinacje. Wyprowadzenie tej formuły tak naprawdę opiera się na zasadzie mnożenia.

Załóżmy, że istnieje zadanie do wykonania, a zadanie to jest podzielone na dwa etapy. Pierwszy krok można zrobić w k sposoby i drugi krok można zrobić w n sposoby Oznacza to, że po pomnożenie razem te liczby, liczba sposobów wykonania zadania wynosi nk.

Na przykład, jeśli masz do wyboru dziesięć rodzajów lodów i trzy różne polewy, ile możesz zrobić jednej miarki, jednej polewy lodowej? Pomnóż trzy przez 10, aby uzyskać 30 sund.

Teraz skorzystaj z zasady mnożenia, aby uzyskać wzór na liczbę kombinacji r elementy zaczerpnięte z zestawu n elementy. Pozwolić

Pomyśl o tym, co dzieje się podczas tworzenia permutacji r elementy z łącznie n. Spójrz na to jako na proces dwuetapowy. Najpierw wybierz zestaw r elementy z zestawu n. To jest połączenie i są do(n, r) sposoby na zrobienie tego. Drugim krokiem w tym procesie jest zamówienie r elementy z r wybory dla pierwszego, r - 1 wybór na drugi, r - 2 dla trzeciego, 2 dla przedostatniego i 1 dla ostatniego. Zgodnie z zasadą mnożenia istnieją r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! sposoby na zrobienie tego. Ta formuła jest napisana za pomocą notacja czynnikowa.

Przypomnę, P.(n,r ), liczba sposobów utworzenia permutacji r elementy z łącznie n jest określony przez:

1. Tworząc kombinację r elementy z ogólnej liczby n w jednym z do(n,r ) sposoby
2. Zamawianie ich r elementy dowolne z r! sposoby

Zgodnie z zasadą mnożenia liczba sposobów utworzenia permutacji wynosi P.(n,r ) = do(n,r ) x r!.

Korzystanie ze wzoru na permutacje P.(n,r ) = n!/(n - r)!, które można zastąpić powyższą formułą:

n!/(n - r)! = do(n,r ) r!.

Rozwiąż teraz liczbę kombinacji, do(n,r ) i zobacz to do(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Jak wykazano, odrobina myśli i algebry może przejść długą drogę. Inne wzory w prawdopodobieństwie i statystyce można również wyprowadzić z ostrożnymi zastosowaniami definicji.