Jakie są prawa De Morgana?

Statystyka matematyczna czasami wymaga zastosowania teorii mnogości. Prawa De Morgana to dwa stwierdzenia opisujące interakcje między różnymi operacjami teorii mnogości. Prawa obowiązują dla dwóch dowolnych zbiorów ZA i b:

1. (ZA ∩ b)^do = ZA^do U b^do.
2. (ZA U b)^do = ZA^do ∩ b^do.

Po wyjaśnieniu, co oznacza każde z tych stwierdzeń, przyjrzymy się przykładowi użycia każdego z nich.

Aby zrozumieć, co mówią prawa De Morgana, musimy przypomnieć niektóre definicje operacji teorii mnogości. W szczególności musimy wiedzieć o unia i skrzyżowanie dwóch zestawów i uzupełnienia zestawu.

Prawa De Morgana dotyczą interakcji związku, skrzyżowania i dopełnienia. Odwołaj to:

• Przecięcie zbiorów ZA i b składa się ze wszystkich elementów wspólnych dla obu ZA i b. Przecięcie jest oznaczone symbolem ZA ∩ b.
• Połączenie zbiorów ZA i b składa się ze wszystkich elementów, które w każdym z nich ZA lub b, w tym elementy w obu zestawach. Skrzyżowanie oznaczone jest literą A U B.
• Uzupełnienie zestawu ZA składa się ze wszystkich elementów, które nie są elementami
  instagram viewer
  ZA. Uzupełnienie to oznaczone jest literą A.^do.

Teraz, gdy przypomnieliśmy sobie o tych elementarnych operacjach, zobaczymy oświadczenie Prawa De Morgana. Dla każdej pary zestawów ZA i b mamy:

1. (ZA ∩ b)^do = ZA^do U b^do
2. (ZA U b)^do = ZA^do ∩ b^do

Te dwa stwierdzenia można zilustrować za pomocą diagramów Venna. Jak widać poniżej, możemy zademonstrować na przykładzie. Aby wykazać, że te stwierdzenia są prawdziwe, musimy udowodnij je przy użyciu definicji operacji teorii mnogości.

Weźmy na przykład zestaw liczby rzeczywiste od 0 do 5. Piszemy to w notacji interwałowej [0, 5]. W ramach tego zestawu mamy ZA = [1, 3] i b = [2, 4]. Ponadto po zastosowaniu naszych podstawowych operacji mamy:

• Uzupełnienie ZA^do = [0, 1) U (3, 5]
• Uzupełnienie b^do = [0, 2) U (4, 5]
• Unia ZA U b = [1, 4]
• Skrzyżowanie ZA ∩ b = [2, 3]

Zaczynamy od obliczenia związku ZA^do U b^do. Widzimy, że związek [0, 1) U (3, 5] z [0, 2) U (4, 5] wynosi [0, 2) U (3, 5). Skrzyżowanie ZA ∩ b wynosi [2, 3]. Widzimy, że dopełnieniem tego zestawu [2, 3] jest również [0, 2) U (3, 5]. W ten sposób to zademonstrowaliśmy ZA^do U b^do = (ZA ∩ b)^do.

Teraz widzimy przecięcie [0, 1) U (3, 5] z [0, 2) U (4, 5] wynosi [0, 1) U (4, 5). Widzimy również, że dopełnienie [1, 4] to także [0, 1) U (4, 5]. W ten sposób to zademonstrowaliśmy ZA^do ∩ b^do = (ZA U b)^do.

W całej historii logiki ludzie tacy jak Arystoteles i William of Ockham wydali oświadczenia równoważne Prawom De Morgana.

Prawa De Morgana zostały nazwane na cześć Augusta De Morgana, który żył w latach 1806–1871. Chociaż nie odkrył tych praw, był pierwszym, który formalnie wprowadził te stwierdzenia, stosując matematyczne sformułowanie w logice zdań.