Ważną cechą jest wariancja rozkładu zmiennej losowej. Liczba ta wskazuje na rozkład rozkładu i można go znaleźć poprzez podniesienie kwadratu odchylenie standardowe. Jeden powszechnie stosowany dyskretny dystrybucja jest rozkładem Poissona. Zobaczymy, jak obliczyć wariancję rozkładu Poissona za pomocą parametru λ.
Rozkład Poissona
Rozkłady Poissona są używane, gdy mamy pewnego rodzaju kontinuum i liczymy dyskretne zmiany w tym kontinuum. Dzieje się tak, gdy weźmiemy pod uwagę liczbę osób, które przybędą do kasy biletowej w ciągu godziny, obserwuj liczba samochodów przejeżdżających przez skrzyżowanie z czterokierunkowym przystankiem lub policz liczbę wad występujących na długości drut.
Jeśli przyjmiemy kilka wyjaśnień w tych scenariuszach, wówczas sytuacje te będą zgodne z warunkami procesu Poissona. Mówimy wtedy, że zmienna losowa, która liczy liczbę zmian, ma rozkład Poissona.
Rozkład Poissona faktycznie odnosi się do nieskończonej rodziny rozkładów. Te rozkłady są wyposażone w pojedynczy parametr λ. Ten parametr jest dodatni
prawdziwy numer jest to ściśle związane z oczekiwaną liczbą zmian zaobserwowanych w kontinuum. Ponadto zobaczymy, że ten parametr jest równy nie tylko oznaczać rozkładu, ale także wariancja rozkładu.Funkcja masy prawdopodobieństwa dla rozkładu Poissona jest dana przez:
fa(x) = (λxmi-λ)/x!
W tym wyrażeniu list mi jest liczbą i jest stałą matematyczną o wartości w przybliżeniu równej 2,718281828. Zmienna x może być dowolną nieujemną liczbą całkowitą.
Obliczanie wariancji
Aby obliczyć średnią rozkładu Poissona, używamy tego rozkładu funkcja generowania momentu. Widzimy to:
M.( t ) = E [mitX] = Σ mitXfa( x) = ΣmitX λxmi-λ)/x!
Teraz przypominamy sobie serię Maclaurin miu. Ponieważ dowolna pochodna funkcji miu jest miu, wszystkie te pochodne ocenione na zero dają nam 1. Rezultatem jest seria miu = Σ un/n!.
Korzystając z serii Maclaurin dla miu, możemy wyrazić funkcję generowania momentu nie jako ciąg, ale w formie zamkniętej. Łączymy wszystkie warunki z wykładnikiem x. A zatem M.(t) = miλ(mit - 1).
Teraz znajdujemy wariancję, biorąc drugą pochodną M. i oceniając to na zero. Od M.’(t) =λmitM.(t), używamy reguły produktu do obliczenia drugiej pochodnej:
M.’’(t)=λ2mi2tM.’(t) + λmitM.(t)
Oceniamy to na zero i znajdujemy to M.’’(0) = λ2 + λ. Następnie wykorzystujemy fakt, że M.’(0) = λ, aby obliczyć wariancję.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
To pokazuje, że parametr λ jest nie tylko średnią rozkładu Poissona, ale także jego wariancją.