Jedną z wielkich zalet matematyki jest to, że pozornie niezwiązane ze sobą obszary przedmiotu łączą się w zaskakujący sposób. Jednym z przykładów jest zastosowanie pomysłu od rachunku różniczkowego do rachunku krzywa dzwonowa. Narzędzie w rachunku różniczkowym zwane pochodną służy do odpowiedzi na następujące pytanie. Gdzie są punkty przegięcia na wykresie funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla normy dystrybucja?
Krzywe mają wiele funkcji, które można klasyfikować i kategoryzować. Jednym z elementów odnoszących się do krzywych, które możemy rozważyć, jest to, czy wykres funkcji rośnie, czy maleje. Inna funkcja dotyczy czegoś zwanego wklęsłością. Można to z grubsza potraktować jako kierunek, w którym zwrócona jest część krzywej. Bardziej formalnie wklęsłość jest kierunkiem krzywizny.
Mówi się, że część krzywej jest wklęsła, jeśli ma kształt litery U. Część krzywej jest wklęsła w dół, jeśli ma następujący kształt following. Łatwo jest zapamiętać, jak to wygląda, jeśli pomyślimy o jaskini otwierającej się w górę dla wklęsłego w górę lub w dół dla wklęsłego. Punkt przegięcia to miejsce, w którym krzywa zmienia wklęsłość. Innymi słowy, jest to punkt, w którym krzywa biegnie od wklęsłego do wklęsłego w dół lub odwrotnie.
W rachunku różniczkowym pochodna jest narzędziem używanym na różne sposoby. Podczas gdy najbardziej znanym zastosowaniem pochodnej jest określenie nachylenia linii stycznej do krzywej w danym punkcie, istnieją inne zastosowania. Jedna z tych aplikacji ma związek ze znajdowaniem punktów przegięcia na wykresie funkcji.
Jeśli wykres y = f (x) ma punkt przegięcia na x = a, a następnie drugą pochodną fa oceniono na za wynosi zero. Piszemy to w notacji matematycznej jako f ’’ (a) = 0. Jeśli druga pochodna funkcji wynosi zero w punkcie, nie oznacza to automatycznie, że znaleźliśmy punkt przegięcia. Możemy jednak szukać potencjalnych punktów przegięcia, sprawdzając, gdzie druga pochodna wynosi zero. Użyjemy tej metody do ustalenia położenia punktów przegięcia rozkładu normalnego.
Z tego łatwo zauważyć, że punkty przegięcia występują tam, gdzie x = μ ± σ. Innymi słowy, punkty przegięcia znajdują się o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej i jedno odchylenie standardowe poniżej średniej.