Co to jest dystrybucja Cauchy'ego

Jeden rozkład zmiennej losowej jest ważny nie dla jej zastosowań, ale dla tego, co mówi nam o naszych definicjach. Rozkład Cauchy'ego jest jednym z takich przykładów, czasem określanym jako przykład patologiczny. Powodem tego jest to, że chociaż ten rozkład jest dobrze zdefiniowany i ma związek ze zjawiskiem fizycznym, rozkład nie ma średniej ani wariancji. Rzeczywiście, ta zmienna losowa nie posiada znaku funkcja generowania momentu.

Rozkład Cauchy'ego definiujemy na podstawie pokrętła, takiego jak typ w grze planszowej. Środek tego pokrętła zostanie zakotwiczony na y oś w punkcie (0, 1). Po obróceniu przędzarki przedłużymy odcinek linii przędzarki, aż przekroczy oś x. Będzie to zdefiniowane jako nasza zmienna losowa X.

Pozwalamy w oznaczać mniejszy z dwóch kątów, które przędzarka tworzy z y oś. Zakładamy, że ten spinner może równie dobrze tworzyć dowolny kąt jak inny, a zatem W ma rozkład równomierny w zakresie od -π / 2 do π / 2.

Podstawowa trygonometria zapewnia nam połączenie między naszymi dwiema losowymi zmiennymi:

X = dębnikW..

Skumulowana funkcja rozkładuXwyprowadza się w następujący sposób:

H.(x) = P.(X < x) = P.(dębnikW. < x) = P.(W. < arctanX)

Następnie wykorzystujemy fakt, żeW. jest jednolity, a to daje nam:

H.(x) = 0.5 + (arctanx)/π

Aby uzyskać funkcję gęstości prawdopodobieństwa, różnicujemy funkcję gęstości skumulowanej. Wynik to h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Co sprawia, że ​​rozkład Cauchy'ego jest interesujący, to, że chociaż zdefiniowaliśmy go za pomocą systemu fizycznego losowy spinner, zmienna losowa o rozkładzie Cauchy'ego nie generuje wartości średniej, wariancji ani momentu funkcjonować. Wszystkie z tych chwile informacje o pochodzeniu, które są używane do zdefiniowania tych parametrów, nie istnieją.

Zaczynamy od rozważenia średniej. Średnia jest zdefiniowana jako oczekiwana wartość naszej zmiennej losowej, a zatem E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Integrujemy za pomocą podstawienie. Jeśli ustawimy u = 1 +x² wtedy widzimy, że du = 2x rex. Po dokonaniu podstawienia wynikowa nieprawidłowa całka nie zbiegnie się. Oznacza to, że oczekiwana wartość nie istnieje, a średnia jest niezdefiniowana.

Podobnie funkcja generowania wariancji i momentu jest niezdefiniowana.

Dystrybucja Cauchy jest nazwana na cześć francuskiego matematyka Augustina-Louisa Cauchy (1789 - 1857). Pomimo tego, że dystrybucja ta nosi nazwę Cauchy, informacje dotyczące dystrybucji zostały po raz pierwszy opublikowane przez Poissona.