Prawdopodobieństwa wyrzucenia trzech kości

Kości zapewniają świetne ilustracje pojęcia w prawdopodobieństwie. Najczęściej stosowanymi kostkami są sześciany o sześciu bokach. Tutaj zobaczymy, jak obliczyć prawdopodobieństwo rzucenia trzema standardowymi kostkami. Obliczanie prawdopodobieństwa sumy uzyskanej przez jest stosunkowo standardowym problemem rzucając dwie kostki. Istnieje w sumie 36 różnych rzutów dwiema kośćmi, z dowolną sumą od 2 do 12 możliwych.Jak zmienia się problem, jeśli dodamy więcej kości?

Tak jak jedna kość ma sześć wyników, a dwie kości mają 6² = 36 wyników, eksperyment prawdopodobieństwa rzucenia trzema kośćmi ma 6³ = 216 wyników. Ten pomysł uogólnia się na więcej kości. Jeśli rzucimy n kości to 6ⁿ wyniki.

Możemy również rozważyć możliwe kwoty z rzutu kilkoma kostkami. Najmniejsza możliwa suma występuje, gdy wszystkie kości są najmniejsze lub po jednej. Daje to sumę trzech, gdy rzucamy trzema kostkami. Największa liczba na kości to sześć, co oznacza, że ​​największa możliwa suma występuje, gdy wszystkie trzy kości są szóstkami. Suma tej sytuacji to 18.

Gdy n kostki są rzucane, najmniejsza możliwa suma to n a największa możliwa suma to 6n.

• Jest jeden możliwy sposób, w jaki trzy kości mogą w sumie 3
• 3 sposoby na 4
• 6 za 5
• 10 za 6
• 15 za 7
• 21 za 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 za 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 za 16
• 3 za 17
• 1 na 18

Jak omówiono powyżej, dla trzech kości możliwe sumy obejmują każdą liczbę od trzech do 18. Prawdopodobieństwa można obliczyć za pomocą strategie liczenia i uznając, że szukamy sposobów na podzielenie liczby na dokładnie trzy liczby całkowite. Na przykład jedynym sposobem na uzyskanie sumy trzech jest 3 = 1 + 1 + 1. Ponieważ każda kość jest niezależna od innych, sumę taką jak cztery można uzyskać na trzy różne sposoby:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Dalsze argumenty zliczające można wykorzystać do znalezienia liczby sposobów formowania innych sum. Podziały dla każdej sumy są następujące:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kiedy partycja tworzy trzy różne liczby, na przykład 7 = 1 + 2 + 4, są 3! (3x2x1) różne sposoby permutacja te liczby. To by się liczyło do trzech wyników w przestrzeni próbki. Kiedy dwie różne liczby tworzą partycję, istnieją trzy różne sposoby permutacji tych liczb.

Dzielimy całkowitą liczbę sposobów uzyskania każdej sumy przez całkowitą liczbę wyników w próbka miejscalub 216. Wyniki są następujące:

• Prawdopodobieństwo sumy 3: 1/216 = 0,5%
• Prawdopodobieństwo sumy 4: 3/216 = 1,4%
• Prawdopodobieństwo sumy 5: 6/216 = 2,8%
• Prawdopodobieństwo sumy 6: 10/216 = 4,6%
• Prawdopodobieństwo sumy 7: 15/216 = 7,0%
• Prawdopodobieństwo sumy 8: 21/216 = 9,7%
• Prawdopodobieństwo sumy 9: 25/216 = 11,6%
• Prawdopodobieństwo sumy 10: 27/216 = 12,5%
• Prawdopodobieństwo sumy 11: 27/216 = 12,5%
• Prawdopodobieństwo sumy 12: 25/216 = 11,6%
• Prawdopodobieństwo sumy 13: 21/216 = 9,7%
• Prawdopodobieństwo sumy 14: 15/216 = 7,0%
• Prawdopodobieństwo sumy 15: 10/216 = 4,6%
• Prawdopodobieństwo sumy 16: 6/216 = 2,8%
• Prawdopodobieństwo sumy 17: 3/216 = 1,4%
• Prawdopodobieństwo sumy 18: 1/216 = 0,5%

Jak można zauważyć, ekstremalne wartości 3 i 18 są najmniej prawdopodobne. Najbardziej prawdopodobne są kwoty dokładnie w środku. Odpowiada to temu, co zaobserwowano, gdy rzucono dwiema kostkami.