Dlaczego zerowy czynnik jest równy?

Wartość zerowa silnia jest wyrażeniem matematycznym określającym liczbę sposobów uporządkowania zestawu danych bez wartości, co jest równe jeden. Ogólnie rzecz biorąc, Factorial liczby jest skrótowym sposobem napisania wyrażenia mnożenia, w którym liczba jest pomnożona przez każdą liczbę mniejszą niż ją, ale większą niż zero. 4! = 24, na przykład, to samo co zapisywanie 4 x 3 x 2 x 1 = 24, ale jeden używa wykrzyknika po prawej stronie liczby silni (cztery), aby wyrazić to samo równanie.

Z tych przykładów jasno wynika, jak obliczyć silnię dowolnej liczby całkowitej większej niż lub równy jeden, ale dlaczego wartość zero jest silnia jeden pomimo matematycznej reguły, że wszystko pomnożone przez zero jest równe zero?

Definicja silni określa, że ​​0! = 1. Zwykle wprawia to ludzi w zakłopotanie, kiedy widzą to równanie po raz pierwszy, ale zobaczymy poniżej przykłady, dlaczego ma to sens, gdy spojrzymy na definicję, permutacje i formuły dla zera Factorial.

Definicja zera czynnikowego

Pierwszym powodem, dla którego zero silni jest równe jeden, jest to, że taka jest definicja, którą powinno być, co jest matematycznie poprawnym wyjaśnieniem (jeśli nieco niezadowalającym). Trzeba jednak pamiętać, że definicja silni jest iloczynem liczb całkowitych równych lub mniejszych wartości liczba oryginalna - innymi słowy, silnia to liczba możliwych kombinacji z liczbami mniejszymi lub równymi numer.

instagram viewer

Ponieważ zero nie ma liczb mniejszych od niego, ale wciąż jest liczbą samą w sobie, istnieje tylko jedna możliwa kombinacja tego, w jaki sposób można zestawić ten zestaw danych: nie może. Nadal liczy się to jako sposób na ułożenie go, więc z definicji czynnik zerowy jest równy jeden, tak jak 1! jest równy jeden, ponieważ istnieje tylko jedno możliwe ustawienie tego zestawu danych.

Aby lepiej zrozumieć, jak to ma sens matematyczny, należy zauważyć, że czynniki takie jak te są używane do określania możliwych kolejności informacji w sekwencja, znana również jako permutacje, która może być użyteczna w zrozumieniu, że chociaż nie ma wartości w pustym lub zerowym zbiorze, jest jeszcze jeden sposób ułożone.

Permutacje i czynniki

ZA permutacja jest określoną, unikalną kolejnością elementów w zestawie. Na przykład istnieje sześć permutacji zestawu {1, 2, 3}, który zawiera trzy elementy, ponieważ możemy je zapisać na sześć następujących sposobów:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

Możemy również stwierdzić ten fakt za pomocą równania 3! = 6, co jest silną reprezentacją pełnego zestawu permutacji. W podobny sposób jest ich 4! = 24 permutacje zestawu z czterema elementami i 5! = 120 permutacji zestawu z pięcioma elementami. Alternatywnym sposobem myślenia o silni jest pozwolenie n bądź liczbą naturalną i powiedz to n! to liczba permutacji dla zestawu z n elementy.

Przy takim sposobie myślenia o silni, spójrzmy na kilka innych przykładów. Zbiór z dwoma elementami ma dwie permutacje: {a, b} można ustawić jako a, b lub jako b, a. To odpowiada 2! = 2. Zestaw z jednym elementem ma jedną permutację, ponieważ element 1 w zestawie {1} można zamówić tylko w jeden sposób.

To prowadzi nas do zera silni. Zestaw z zerowymi elementami nazywa się pusty zestaw. Aby znaleźć wartość zerową silni, pytamy: „Ile sposobów możemy zamówić zestaw bez elementów?” W tym miejscu musimy nieco rozszerzyć nasze myślenie. Chociaż nie ma nic do uporządkowania, jest na to jeden sposób. Mamy więc 0! = 1.

Formuły i inne walidacje

Kolejny powód definicji 0! = 1 dotyczy formuł, których używamy do permutacji i kombinacji. To nie wyjaśnia, dlaczego zero silnia jest jeden, ale pokazuje, dlaczego ustawienie 0! = 1 to dobry pomysł.

Kombinacja to zgrupowanie elementów zestawu bez względu na porządek. Weźmy na przykład zestaw {1, 2, 3}, w którym istnieje jedna kombinacja składająca się ze wszystkich trzech elementów. Bez względu na to, jak ułożymy te elementy, otrzymamy tę samą kombinację.

Używamy wzór na kombinacje z kombinacją trzech elementów wziętych po trzy na raz i zobacz, że 1 = do (3, 3) = 3!/(3! 0!), A jeśli traktujemy 0! jako nieznana ilość i rozwiązująca algebraicznie, widzimy, że 3! 0! = 3! i tak 0! = 1.

Są inne powody, dla których definicja 0! = 1 jest poprawne, ale powyższe przyczyny są najprostsze. Ogólna idea matematyki polega na tym, że kiedy konstruowane są nowe pomysły i definicje, pozostają one spójne z innymi matematykami i właśnie to widzimy w definicji zerowej silni równy jeden.

instagram story viewer