Jaka jest oczekiwana wartość prawdopodobieństwa?

Jesteś na karnawale i widzisz grę. Za 2 USD rzucasz standardową sześciościenną kostką. Jeśli podana liczba to sześć, wygrywasz 10 USD, w przeciwnym razie nic nie wygrywasz. Jeśli próbujesz zarabiać pieniądze, to czy gra leży w twoim interesie? Aby odpowiedzieć na takie pytanie, potrzebujemy pojęcia wartości oczekiwanej.

Oczekiwaną wartość można naprawdę traktować jako średnią zmiennej losowej. Oznacza to, że jeśli wielokrotnie przeprowadzałeś eksperyment prawdopodobieństwa, śledząc wyniki, oczekiwaną wartością jest średni wszystkich uzyskanych wartości. Oczekiwana wartość jest tym, czego powinieneś się spodziewać w długim okresie wielu prób gry losowej.

Wspomniana wyżej gra karnawałowa jest przykładem dyskretnej zmiennej losowej. Zmienna nie jest ciągła i każdy wynik przychodzi do nas w liczbie, którą można oddzielić od innych. Aby znaleźć oczekiwaną wartość gry, która ma wyniki x₁, x₂,..., x_n z prawdopodobieństwami p₁, p₂,... , p_n, Oblicz:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

W powyższej grze istnieje prawdopodobieństwo 5/6, że nic nie wygrasz. Wartość tego wyniku wynosi -2, ponieważ wydałeś 2 $ na grę. Sześć ma prawdopodobieństwo pojawienia się 1/6, a ta wartość daje wynik 8. Dlaczego 8, a nie 10? Ponownie musimy wziąć pod uwagę 2 $, które zapłaciliśmy, aby grać, a 10-2 = 8.

Teraz podłącz te wartości i prawdopodobieństwa do oczekiwanych formuła wartości i kończy się na: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Oznacza to, że na dłuższą metę powinieneś spodziewać się średnio około 33 centów za każdym razem, gdy grasz w tę grę. Tak, czasami wygrasz. Ale przegrasz częściej.

Załóżmy teraz, że gra karnawałowa została nieco zmodyfikowana. Za taką samą opłatę wpisową w wysokości 2 $, jeśli pokazana liczba to sześć, wygrywasz 12 $, w przeciwnym razie nic nie wygrasz. Oczekiwana wartość tej gry to -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Na dłuższą metę nie stracisz żadnych pieniędzy, ale nie wygrasz. Nie oczekuj gry z tymi liczbami na lokalnym karnawale. Jeśli na dłuższą metę nie stracisz żadnych pieniędzy, wtedy karnawał ich nie zarobi.

Teraz zwróć się do kasyna. W taki sam sposób, jak poprzednio, możemy obliczyć oczekiwaną wartość gier losowych, takich jak ruletka. W USA koło ruletki ma 38 ponumerowanych miejsc od 1 do 36, 0 i 00. Połowa z 1-36 jest czerwona, połowa jest czarna. Zarówno 0, jak i 00 są zielone. Piłka losowo ląduje w jednym z miejsc, a zakłady są stawiane w miejscu, w którym piłka wyląduje.

Jednym z najprostszych zakładów jest postawienie na czerwony. Tutaj, jeśli postawisz 1 $, a kulka wyląduje na czerwonym numerze w kole, wygrasz 2 $. Jeśli piłka wyląduje na czarnym lub zielonym polu w kole, nic nie wygrasz. Jaka jest oczekiwana wartość takiego zakładu? Ponieważ jest 18 czerwonych pól, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 18/38, a zysk netto wynosi 1 $. Istnieje prawdopodobieństwo 20/38 utraty początkowej stawki 1 $. Oczekiwana wartość tego zakładu w ruletka wynosi 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, co stanowi około 5,3 centów. Tutaj dom ma niewielką przewagę (jak w przypadku wszystkich gier kasynowych).

Jako inny przykład rozważ loteria. Chociaż miliony można wygrać za cenę 1 $, oczekiwana wartość gry loteryjnej pokazuje, jak niesprawiedliwie jest skonstruowana. Załóżmy, że za 1 USD wybierzesz sześć liczb od 1 do 48. Prawdopodobieństwo prawidłowego wyboru wszystkich sześciu liczb wynosi 1/12 271 512. Jeśli wygrasz milion dolarów za poprawne wytypowanie wszystkich sześciu, jaka jest oczekiwana wartość tej loterii? Możliwe wartości to - 1 $ za przegraną i 999,999 $ za wygraną (ponownie musimy wziąć pod uwagę koszt gry i odjąć to od wygranych). To daje nam oczekiwaną wartość:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Jeśli więc grasz w loterię w kółko, na dłuższą metę tracisz około 92 centów - prawie całą cenę biletu - za każdym razem, gdy grasz.

Wszystkie powyższe przykłady wyglądają dyskretnie zmienna losowa. Możliwe jest jednak zdefiniowanie wartości oczekiwanej również dla ciągłej zmiennej losowej. W tym przypadku musimy jedynie zastąpić sumę w naszym wzorze całką.

Ważne jest, aby pamiętać, że oczekiwana wartość jest średnią po wielu próbach losowy proces. W krótkim okresie średnia zmiennej losowej może znacznie różnić się od wartości oczekiwanej.