Jaka jest różnica dwóch zestawów w teorii zestawów?

Różnica między dwoma zestawami, napisanymi ZA - b jest zbiorem wszystkich elementów ZA które nie są elementami b. Operacja różnicowa, wraz ze zjednoczeniem i skrzyżowaniem, jest ważna i podstawowa teoria zbiorów.

Odejmowanie jednej liczby od drugiej można myśleć na wiele różnych sposobów. Jeden model, który pomaga zrozumieć tę koncepcję, nosi nazwę modelu na wynos odejmowanie. W tym przypadku problem 5 - 2 = 3 zostałby wykazany, zaczynając od pięciu obiektów, usuwając dwa z nich i licząc, że pozostały trzy. W podobny sposób, w jaki znajdujemy różnicę między dwiema liczbami, możemy znaleźć różnicę dwóch zbiorów.

Spójrzmy na przykład ustawionej różnicy. Aby zobaczyć różnicę dwóch zestawy tworzy nowy zestaw, rozważmy zestawy ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć różnicę ZA - b z tych dwóch zestawów zaczynamy od napisania wszystkich elementów ZA, a następnie zabierz każdy element ZA to także element b. Od ZA dzieli elementy 3, 4 i 5 z b, daje nam to ustaloną różnicę ZA - b = {1, 2}.

Tak jak różnice 4 - 7 i 7 - 4 dają różne odpowiedzi, musimy uważać na kolejność, w jakiej obliczamy ustaloną różnicę. Aby użyć technicznego terminu z matematyki, powiedzielibyśmy, że ustawiona operacja różnicy nie jest przemienna. Oznacza to, że generalnie nie możemy zmienić kolejności różnicy dwóch zbiorów i oczekiwać tego samego wyniku. Możemy dokładniej stwierdzić, że dla wszystkich zestawów ZA i b, ZA - b nie jest równy b - ZA.

Aby to zobaczyć, wróć do powyższego przykładu. Obliczyliśmy to dla zbiorów ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, różnica ZA - b = {1, 2 }. Aby to porównać b - ZA, zaczynamy od elementów b, które wynoszą 3, 4, 5, 6, 7, 8, a następnie usuń 3, 4 i 5, ponieważ są one wspólne z ZA. Wynik to b - ZA = {6, 7, 8 }. Ten przykład wyraźnie nam to pokazuje A - B nie jest równy B - A.

Jedna różnica jest na tyle ważna, że ​​gwarantuje jej własną specjalną nazwę i symbol. Nazywa się to uzupełnieniem i jest używane do ustawionej różnicy, gdy pierwszy zestaw jest zestawem uniwersalnym. Uzupełnienie ZA jest podane przez wyrażenie U - ZA. Odnosi się to do zestawu wszystkich elementów w zestawie uniwersalnym, które nie są elementami ZA. Ponieważ jest zrozumiałe, że zestaw elementów z których możemy wybierać, pochodzą z zestawu uniwersalnego, możemy po prostu powiedzieć, że są uzupełnieniem ZA jest zbiorem złożonym z elementów, które nie są elementami ZA.

Uzupełnienie zestawu odnosi się do zestawu uniwersalnego, z którym pracujemy. Z ZA = {1, 2, 3} i U = {1, 2, 3, 4, 5}, uzupełnienie ZA wynosi {4, 5}. Powiedzmy, że jeśli nasz zestaw uniwersalny jest inny U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, a następnie uzupełnienie ZA {-3, -2, -1, 0}. Zawsze należy zwrócić uwagę na to, jaki zestaw uniwersalny jest używany.

Słowo „dopełnienie” zaczyna się na literę C, dlatego jest używane w notacji. Uzupełnienie zestawu ZA jest napisany jako ZA^do. Możemy więc wyrazić definicję dopełniacza w symbolach jako: ZA^do = U - ZA.

Innym sposobem, który jest powszechnie używany do oznaczenia dopełnienia zbioru, jest apostrof i jest napisany jako ZA'.

Istnieje wiele zestawów tożsamości, które wymagają użycia operacji różnicowania i uzupełniania. Niektóre tożsamości łączą inne operacje zestawu, takie jak skrzyżowanie i unia. Kilka najważniejszych jest wymienionych poniżej. Do wszystkich zestawów ZA, i b i re mamy:

• ZA - ZA =∅
• ZA - ∅ = ZA
• ∅ - ZA = ∅
• ZA - U = ∅
• (ZA^do)^do = ZA
• Prawo DeMorgan I: (ZA ∩ b)^do = ZA^do ∪ b^do
• Prawo DeMorgan II: (ZA ∪ b)^do = ZA^do ∩ b^do