Rozwiązania trudnych problemów liczenia

Liczenie może wydawać się łatwym zadaniem do wykonania. W miarę jak zagłębiamy się w obszar matematyka znany jako kombinatoryka, zdajemy sobie sprawę, że natrafiamy na kilka dużych liczb. Od czasu Factorial pojawia się tak często, a liczba taka jak 10! jest większy niż trzy milion, liczenie problemów może się bardzo szybko skomplikować, jeśli spróbujemy wymienić wszystkie możliwości.

Czasami, gdy bierzemy pod uwagę wszystkie możliwości, jakie mogą przynieść nasze problemy z liczeniem, łatwiej jest przemyśleć podstawowe zasady problemu. Ta strategia może zająć znacznie mniej czasu niż próba brutalnej siły, aby wymienić kilka kombinacje lub permutacje.

Pytanie „Ile sposobów można zrobić?” to zupełnie inne pytanie niż „Jakie są sposoby że coś można zrobić? ”Zobaczymy, jak ten pomysł zadziała w następującym zestawie trudnych obliczeń problemy.

Poniższy zestaw pytań obejmuje słowo TRÓJKĄT. Uwaga: w sumie jest osiem liter. Niech będzie zrozumiałe, że samogłoski słowa TRIANGLE to AEI, a spółgłoski słowa TRIANGLE to LGNRT. Prawdziwe wyzwanie, przed dalszą lekturą sprawdź wersję tych problemów bez rozwiązań.

1. Ile sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT?
   Rozwiązanie: Tutaj jest w sumie osiem opcji dla pierwszej litery, siedem dla drugiej, sześć dla trzeciej i tak dalej. Zgodnie z zasadą mnożenia mnożymy w sumie 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 różnych sposobów.
2. Ile sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli pierwsze trzy litery muszą być RAN (w dokładnie takiej kolejności)?
   Rozwiązanie: Pierwsze trzy litery zostały dla nas wybrane, pozostawiając nam pięć liter. Po RAN mamy pięć opcji na następną literę, po której następują cztery, potem trzy, potem dwie, potem jedna. Zgodnie z zasadą mnożenia istnieje 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 sposobów na uporządkowanie liter w określony sposób.
3. Ile sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli pierwsze trzy litery muszą być RAN (w dowolnej kolejności)?
   Rozwiązanie: Spójrz na to jako na dwa niezależne zadania: pierwsze układanie liter RAN i drugie układanie pozostałych pięciu liter. Są 3! = 6 sposobów na ustawienie RAN i 5! Sposoby ułożenia pozostałych pięciu liter. W sumie jest ich 3! x 5! = 720 sposobów na rozmieszczenie liter TRÓJKĄTU, jak określono.
4. Na ile sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli pierwsze trzy litery muszą być RAN (w dowolnej kolejności), a ostatnia litera musi być samogłoską?
   Rozwiązanie: Spójrz na to jako na trzy zadania: pierwsze układanie liter RAN, drugie wybieranie jednej samogłoski spośród I i E oraz trzecie układanie pozostałych czterech liter. Są 3! = 6 sposobów na ustawienie RAN, 2 sposoby na wybranie samogłoski z pozostałych liter i 4! Sposoby ułożenia pozostałych czterech liter. W sumie jest ich 3! X 2 x 4! = 288 sposobów na uporządkowanie liter TRÓJKĄTU, jak określono.
5. Ile sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli pierwsze trzy litery muszą mieć RAN (w dowolnej kolejności), a następne trzy litery muszą być TRI (w dowolnej kolejności)?
   Rozwiązanie: Ponownie mamy trzy zadania: pierwsze ułożenie liter RAN, drugie ułożenie liter TRI i trzecie ułożenie pozostałych dwóch liter. Są 3! = 6 sposobów na ustawienie RAN, 3! sposoby ułożenia TRI i dwa sposoby ułożenia pozostałych liter. W sumie jest ich 3! x 3! X 2 = 72 sposoby ułożenia liter TRÓJKĄT, jak wskazano.
6. Ile różnych sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli nie można zmienić kolejności i umiejscowienia samogłosek IAE?
   Rozwiązanie: Trzy samogłoski muszą być utrzymywane w tej samej kolejności. Teraz można ułożyć w sumie pięć spółgłosek. Można to zrobić w 5! = 120 sposobów.
7. Ile różnych sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli nie można uporządkować samogłosek IAE mogą zostać zmienione, chociaż ich umiejscowienie może (IAETRNGL i TRIANGEL są dopuszczalne, ale EIATRNGL i TRIENGLA są nie)?
   Rozwiązanie: Najlepiej o tym pomyśleć w dwóch krokach. Pierwszym krokiem jest wybranie miejsc, do których idą samogłoski. Tutaj wybieramy trzy miejsca na osiem, a kolejność, w jakiej to robimy, nie jest ważna. Jest to kombinacja i jest ich łącznie do(8,3) = 56 sposobów na wykonanie tego kroku. Pozostałe pięć liter można ułożyć w 5! = 120 sposobów. Daje to w sumie 56 x 120 = 6720 układów.
8. Ile różnych sposobów można ustawić litery słowa TRÓJKĄT, jeśli można zmienić kolejność samogłosek IAE, chociaż ich umiejscowienie może nie być?
   Rozwiązanie: To naprawdę to samo co powyżej # 4, ale z różnymi literami. Układamy trzy litery w 3! = 6 sposobów, a pozostałe pięć liter w 5! = 120 sposobów. Łączna liczba sposobów dla tego układu wynosi 6 x 120 = 720.
9. Ile różnych sposobów można ustawić sześć liter słowa TRÓJKĄT?
   Rozwiązanie: Ponieważ mówimy o aranżacji, jest to permutacja i jest ich w sumie P.( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 sposobów.
10. Ile różnych sposobów można ustawić sześć liter słowa TRÓJKĄT, jeśli musi istnieć taka sama liczba samogłosek i spółgłosek?
    Rozwiązanie: Jest tylko jeden sposób wyboru samogłosek, które zamierzamy umieścić. Wyboru spółgłosek można dokonać w do(5, 3) = 10 sposobów. Jest ich wtedy 6! sposoby ułożenia sześciu liter. Pomnóż te liczby razem, aby uzyskać wynik 7200.
11. Ile różnych sposobów można ustawić sześć liter słowa TRÓJKĄT, jeśli musi istnieć co najmniej jedna spółgłoska?
    Rozwiązanie: Każde ustawienie sześciu liter spełnia warunki, więc są P.(8, 6) = 20 160 sposobów.
12. Ile różnych sposobów można ułożyć sześć liter słowa TRÓJKĄT, jeśli samogłoski muszą występować naprzemiennie z spółgłosek?
    Rozwiązanie: Istnieją dwie możliwości, pierwsza litera jest samogłoską lub pierwsza litera jest spółgłoską. Jeśli pierwsza litera jest samogłoską, mamy trzy opcje, następnie pięć dla spółgłoski, dwie dla drugiej samogłoski, cztery dla drugiej spółgłoski, jedna dla ostatniej samogłoski i trzy dla ostatniej spółgłoski. Mnożymy to, aby uzyskać 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Według argumentów symetrii istnieje taka sama liczba aranżacji, które zaczynają się spółgłoską. Daje to łącznie 720 aranżacji.
13. Ile różnych zestawów czterech liter można utworzyć ze słowa TRÓJKĄT?
    Rozwiązanie: Ponieważ mówimy o zestaw czterech liter z ośmiu, kolejność nie jest ważna. Musimy obliczyć kombinację do(8, 4) = 70.
14. Ile różnych zestawów czterech liter można utworzyć ze słowa TRIANGLE, które ma dwie samogłoski i dwie spółgłosek?
    Rozwiązanie: Tutaj tworzymy nasz zestaw w dwóch krokach. Tam są do(3, 2) = 3 sposoby wyboru dwóch samogłosek z 3. Tam są do(5, 2) = 10 sposobów wyboru spółgłosek spośród pięciu dostępnych. Daje to łącznie 3x10 = 30 zestawów.
15. Ile różnych zestawów czterech liter można utworzyć ze słowa TRÓJKĄT, jeśli chcemy przynajmniej jednej samogłoski?
    Rozwiązanie: Można to obliczyć w następujący sposób:

• Liczba zestawów czterech z jedną samogłoską wynosi do(3, 1) x do( 5, 3) = 30.
• Liczba zestawów czterech z dwiema samogłoskami wynosi do(3, 2) x do( 5, 2) = 30.
• Liczba zestawów czterech z trzema samogłoskami wynosi do(3, 3) x do( 5, 1) = 5.

Daje to w sumie 65 różnych zestawów. Alternatywnie moglibyśmy obliczyć, że istnieje 70 sposobów na utworzenie zestawu dowolnych czterech liter i odjęcie do(5, 4) = 5 sposobów uzyskania zbioru bez samogłosek.