Wprowadzenie do krzywej dzwonowej

Rozkład normalny jest bardziej znany jako krzywa dzwonowa. Ten typ krzywej pojawia się w całym tekście Statystyka i prawdziwy świat.

Na przykład po zdaniu testu na jednej z moich zajęć jedną rzeczą, którą lubię, jest zrobienie wykresu wszystkich wyników. Zazwyczaj zapisuję 10 zakresów punktowych, takich jak 60-69, 70-79 i 80-89, a następnie stawiam ocenę dla każdego wyniku testu w tym zakresie. Niemal za każdym razem, gdy to robię, pojawia się znajomy kształt. Kilka studenci radzą sobie bardzo dobrze, a niektórzy bardzo źle. Kilka wyników kończyło się wokół przeciętnego wyniku. Różne testy mogą prowadzić do różnych średnich i odchyleń standardowych, ale kształt wykresu jest prawie zawsze taki sam. Ten kształt jest powszechnie nazywany krzywą dzwonową.

Po co nazywać to krzywą dzwonową? Krzywa dzwonowa ma swoją nazwę po prostu dlatego, że jej kształt przypomina kształt dzwonu. Krzywe te pojawiają się podczas badania statystyk, a ich znaczenia nie można przecenić.

Mówiąc technicznie, rodzaje krzywych dzwonowych, na których nam najbardziej zależy w statystyce, są w rzeczywistości nazywane normalnymi rozkłady prawdopodobieństwa. W dalszej części założymy, że krzywe dzwonowe, o których mówimy, są normalnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Pomimo nazwy „krzywa dzwonowa”, krzywe te nie są określone przez ich kształt. Zamiast tego, zastraszające spojrzenie formuła służy jako formalna definicja krzywych dzwonowych.

Ale tak naprawdę nie musimy się zbytnio przejmować formułą. Jedyne dwie liczby, na których nam zależy, to średnia i odchylenie standardowe. Krzywa dzwonowa dla danego zestawu danych ma środek umieszczony na środku. To tutaj znajduje się najwyższy punkt krzywej lub „góra dzwonu”. Odchylenie standardowe zestawu danych określa, jak rozkłada się nasza krzywa dzwonowa. Im większe odchylenie standardowe, tym bardziej rozkładana jest krzywa.

Istnieje kilka cech krzywych dzwonowych, które są ważne i odróżniają je od innych krzywych w statystykach:

• Krzywa dzwonowa ma jeden tryb, który pokrywa się ze średnią i medianą. Jest to środek krzywej, w którym jest najwyższy.
• Krzywa dzwonowa jest symetryczna. Gdyby był on złożony na środku wzdłuż linii pionowej, obie połowy byłyby idealnie dopasowane, ponieważ są wzajemnie odbiciami lustrzanymi.
• Krzywa dzwonowa jest zgodna z zasadą 68–95–99,7, która zapewnia wygodny sposób przeprowadzania szacunkowych obliczeń:
  • Około 68% wszystkich danych mieści się w jednym standardowym odchyleniu średniej.
  • Około 95% wszystkich danych mieści się w dwóch standardowych odchyleniach od średniej.
  • Około 99,7% danych mieści się w granicach trzech standardowych odchyleń od średniej.

Jeśli wiemy, że krzywa dzwonowa modeluje nasze dane, możemy użyć powyższych cech krzywej dzwonowej, aby powiedzieć całkiem sporo. Wracając do przykładu testowego, załóżmy, że mamy 100 uczniów, którzy wzięli test statystyczny ze średnią oceną 70 i odchyleniem standardowym 10.

Odchylenie standardowe wynosi 10. Odejmij i dodaj 10 do średniej. To daje nam 60 i 80. Zgodnie z zasadą 68–95–99,7 spodziewalibyśmy się, że około 68% ze 100, czyli 68 uczniów, uzyska wynik od 60 do 80 na teście.

Dwa razy odchylenie standardowe wynosi 20. Jeśli odejmiemy i dodamy 20 do średniej, mamy 50 i 90. Spodziewalibyśmy się, że około 95% ze 100 lub 95 uczniów uzyska od 50 do 90 punktów na teście.

Podobne obliczenia mówią nam, że skutecznie wszyscy ocenili między 40 a 100 w teście.

Istnieje wiele zastosowań krzywych dzwonowych. Są ważne w statystyce, ponieważ modelują wiele różnych danych rzeczywistych. Jak wspomniano powyżej, wyniki testów to jedno miejsce, w którym się pojawiają. Oto kilka innych:

• Powtarzane pomiary urządzenia
• Pomiary charakterystyk w biologii
• Przybliżanie przypadkowych zdarzeń, takich jak kilkukrotne rzucenie monetą
• Wysokości uczniów na określonym poziomie klas w okręgu szkolnym

Pomimo niezliczonych zastosowań krzywych dzwonowych, nie jest właściwe stosowanie we wszystkich sytuacjach. Niektóre zestawy danych statystycznych, takie jak awaria sprzętu lub podział dochodów, mają różne kształty i nie są symetryczne. Innym razem mogą istnieć dwa lub więcej trybów, na przykład gdy kilku uczniów radzi sobie bardzo dobrze, a kilku bardzo słabo podczas testu. Aplikacje te wymagają zastosowania innych krzywych, które są zdefiniowane inaczej niż krzywa dzwonowa. Wiedza na temat tego, w jaki sposób uzyskano zbiór danych, może pomóc ustalić, czy do przedstawienia danych należy zastosować krzywą dzwonową.