Jaka jest ujemna dystrybucja dwumianowa?

Ujemny rozkład dwumianowy to a rozkład prawdopodobieństwa który jest używany z dyskretnymi zmiennymi losowymi. Ten rodzaj dystrybucji dotyczy liczby prób, które muszą się odbyć, aby osiągnąć z góry określoną liczbę sukcesów. Jak zobaczymy, ujemny rozkład dwumianowy jest związany z rozkład dwumianowy. Ponadto rozkład ten uogólnia rozkład geometryczny.

Zaczniemy od przyjrzenia się zarówno ustawieniu, jak i warunkom, które powodują ujemny rozkład dwumianowy. Wiele z tych warunków jest bardzo podobnych do ustawienia dwumianowego.

1. Mamy eksperyment Bernoulliego. Oznacza to, że każda przeprowadzana przez nas próba ma dobrze określony sukces i porażkę oraz że są to jedyne wyniki.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe bez względu na to, ile razy przeprowadzamy eksperyment. Oznaczamy to stałe prawdopodobieństwo za pomocą p.
3. Eksperyment powtarza się dla X niezależne próby, co oznacza, że ​​wynik jednej próby nie ma wpływu na wynik kolejnej próby.

Te trzy warunki są identyczne z tymi w rozkładzie dwumianowym. Różnica polega na tym, że dwumianowa zmienna losowa ma określoną liczbę prób

Ujemny rozkład dwumianowy dotyczy liczby prób X to musi się zdarzyć, dopóki nie będziemy r sukcesy. Numer r to liczba, którą wybieramy, zanim zaczniemy przeprowadzać nasze próby. Zmienna losowa X jest wciąż dyskretny. Jednak teraz zmienna losowa może przyjmować wartości X = r, r + 1, r + 2,... Ta zmienna losowa jest w nieskończoność nieskończona, ponieważ uzyskanie jej może zająć dowolnie długo r sukcesy.

Aby pomóc w zrozumieniu ujemnego rozkładu dwumianowego, warto rozważyć przykład. Załóżmy, że rzucamy uczciwą monetą i zadajemy pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy trzy głowy za pierwszym razem X coin flips? ”Jest to sytuacja, która wymaga ujemnego rozkładu dwumianowego.

Monety mają dwa możliwe wyniki, prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe 1/2, a próby są od siebie niezależne. Prosimy o prawdopodobieństwo uzyskania pierwszych trzech głów po X monety rzuca. Dlatego musimy rzucić monetą co najmniej trzy razy. Następnie przewracamy, aż pojawi się trzecia głowa.

Aby obliczyć prawdopodobieństwa związane z ujemnym rozkładem dwumianowym, potrzebujemy więcej informacji. Musimy znać funkcję masy prawdopodobieństwa.

Funkcja masy prawdopodobieństwa dla ujemnego rozkładu dwumianowego może zostać opracowana przy odrobinie przemyślenia. Każda próba ma prawdopodobieństwo podane przez p. Ponieważ są tylko dwa możliwe wyniki, oznacza to, że prawdopodobieństwo niepowodzenia jest stałe (1 - p ).

The rsukces musi wystąpić xi ostatnia próba. Poprzednie x - 1 próba musi dokładnie zawierać r - 1 sukcesy. Liczba sposobów, w jakie może to nastąpić, zależy od liczby kombinacji:

DO(x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Oprócz tego mamy niezależne zdarzenia, dzięki czemu możemy pomnożyć nasze prawdopodobieństwa razem. Łącząc to wszystko, otrzymujemy funkcję masy prawdopodobieństwa

fa(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Jesteśmy teraz w stanie zrozumieć, dlaczego ta zmienna losowa ma ujemny rozkład dwumianowy. Liczbę kombinacji, które napotkaliśmy powyżej, można zapisać inaczej, ustawiając x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Widzimy tutaj pojawienie się ujemnego współczynnika dwumianowego, który jest używany, gdy podniesiemy wyrażenie dwumianowe (a + b) do potęgi ujemnej.

Znaczenie rozkładu jest ważne, ponieważ jest to jeden ze sposobów oznaczenia środka rozkładu. Średnia tego typu zmiennej losowej jest podana przez jej wartość oczekiwaną i jest równa r / p. Możemy to dokładnie udowodnić za pomocą funkcja generowania momentu dla tej dystrybucji.

Intuicja prowadzi nas również do tego wyrażenia. Załóżmy, że wykonujemy serię prób n₁ dopóki nie uzyskamy r sukcesy. A potem robimy to ponownie, tylko tym razem n₂ próby. Kontynuujemy to w kółko, dopóki nie będziemy mieli dużej liczby grup prób N. = n₁ + n₂ +... +n_k.

Każdy z tych k próby zawiera r sukcesy, a więc mamy w sumie kr sukcesy. Gdyby N. jest duży, więc możemy się spodziewać Np sukcesy. W ten sposób porównujemy je razem i mamy kr = Np.

Robimy algebrę i znajdujemy to N / k = r / p. Ułamek po lewej stronie tego równania to średnia liczba prób wymaganych dla każdego z naszych k grupy prób. Innymi słowy, jest to oczekiwana liczba przeprowadzonych eksperymentów, tak abyśmy mieli w sumie r sukcesy. Właśnie tego oczekujemy. Widzimy, że jest to równe formule r / p.

Wariancję ujemnego rozkładu dwumianowego można również obliczyć za pomocą funkcji generowania momentu. Kiedy to robimy, widzimy wariancję tego rozkładu podaną według następującego wzoru:

r (1 - p)/p²

Funkcja generowania momentu dla tego typu zmiennej losowej jest dość skomplikowana. Przypomnijmy, że funkcja generowania momentu jest zdefiniowana jako wartość oczekiwana E [e^tX]. Używając tej definicji z naszą funkcją masy prawdopodobieństwa, mamy:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]mi^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Po pewnej algebrze staje się to M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Widzieliśmy powyżej, jak ujemny rozkład dwumianowy jest pod wieloma względami podobny do rozkładu dwumianowego. Oprócz tego połączenia, ujemny rozkład dwumianowy jest bardziej ogólną wersją rozkładu geometrycznego.

Geometryczna zmienna losowa X liczy liczbę prób niezbędnych przed pierwszym sukcesem. Łatwo zauważyć, że jest to dokładnie ujemny rozkład dwumianowy, ale z r równy jeden.

Istnieją inne formuły ujemnego rozkładu dwumianowego. Niektóre podręczniki to definiują X być liczbą prób do r występują awarie.

Przyjrzymy się przykładowemu problemowi, aby zobaczyć, jak pracować z ujemnym rozkładem dwumianowym. Załóżmy, że koszykarz to 80% rzut wolny. Ponadto załóżmy, że wykonanie jednego rzutu wolnego jest niezależne od wykonania następnego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla tego gracza ósmy koszyk zostanie wykonany przy dziesiątym rzucie wolnym?

Widzimy, że mamy ustawienie ujemnego rozkładu dwumianowego. Stałe prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0,8, więc prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 0,2. Chcemy ustalić prawdopodobieństwo X = 10, gdy r = 8.

Podłączamy te wartości do naszej funkcji masy prawdopodobieństwa:

f (10) = C (10 -1, 8-1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², co stanowi około 24%.

Możemy wtedy zapytać, jaka jest średnia liczba rzutów wolnych, zanim ten gracz wykona osiem z nich. Ponieważ oczekiwana wartość wynosi 8 / 0,8 = 10, jest to liczba strzałów.