Maks. I punkty zapalne rozkładu chi-kwadrat

Statystyka matematyczna wykorzystuje techniki z różnych gałęzi matematyki, aby ostatecznie udowodnić, że twierdzenia dotyczące statystyki są prawdziwe. Zobaczymy, jak użyć rachunku różniczkowego do określenia wyżej wymienionych wartości zarówno maksymalnej wartości rozkład chi-kwadrat, który odpowiada jego trybowi, a także znaleźć punkty przegięcia dystrybucja.

Zanim to zrobimy, omówimy ogólnie cechy maksimów i punktów przegięcia. Zbadamy również metodę obliczania maksymalnej liczby punktów przegięcia.

W przypadku dyskretnego zestawu danych tryb jest najczęściej występującą wartością. Na histogramie danych byłby reprezentowany przez najwyższy słupek. Kiedy znamy najwyższy słupek, patrzymy na wartość danych, która odpowiada podstawie tego słupka. To jest tryb naszego zestawu danych.

Ten sam pomysł stosuje się w pracy z ciągłą dystrybucją. Tym razem, aby znaleźć tryb, szukamy najwyższego piku w rozkładzie. Dla wykresu tego rozkładu wysokość piku jest wartością y. Ta wartość y jest nazywana maksimum dla naszego wykresu, ponieważ wartość jest większa niż jakakolwiek inna wartość y. Tryb jest wartością wzdłuż osi poziomej, która odpowiada tej maksymalnej wartości y.

Chociaż możemy po prostu spojrzeć na wykres rozkładu, aby znaleźć tryb, istnieją pewne problemy z tą metodą. Nasza dokładność jest tak dobra, jak nasz wykres i prawdopodobnie będziemy musieli oszacować. Ponadto mogą wystąpić trudności z wykreśleniem naszej funkcji.

Alternatywną metodą, która nie wymaga grafowania, jest użycie rachunku różniczkowego. Zastosujemy następującą metodę:

1. Zacznij od funkcji gęstości prawdopodobieństwa fa (x) do naszej dystrybucji.
2. Oblicz pierwszy i drugi pochodne tej funkcji: fa '(x) i fa ''(x)
3. Ustaw tę pierwszą pochodną na zero fa '(x) = 0.
4. Rozwiąż dla x.
5. Podłącz wartości z poprzedniego kroku do drugiej pochodnej i oceń. Jeśli wynik jest ujemny, mamy lokalne maksimum o wartości x.
6. Oceń naszą funkcję f (x) we wszystkich punktach x z poprzedniego kroku.
7. Oceń funkcję gęstości prawdopodobieństwa w dowolnym punkcie końcowym jej obsługi. Więc jeśli funkcja ma domenę podaną przez zamknięty przedział [a, b], to oceń funkcję w punktach końcowych za i b.
8. Największa wartość w krokach 6 i 7 będzie absolutnym maksimum funkcji. Wartość x, w której występuje to maksimum, jest trybem dystrybucji.

Teraz wykonujemy powyższe kroki, aby obliczyć tryb rozkładu chi-kwadrat za pomocą r stopnie swobody. Zaczynamy od funkcji gęstości prawdopodobieństwa fa(x), który jest wyświetlany na obrazie w tym artykule.

fa (x) = K. x^{r / 2-1}mi^{-x / 2}

Tutaj K. jest stałą, która obejmuje funkcja gamma i moc 2. Nie musimy znać szczegółów (jednak możemy się do nich odnieść do wzoru na obrazie).

Pierwsza pochodna tej funkcji jest podana przy użyciu reguła produktu tak dobrze jak zasada łańcuchowa:

fa '( x ) = K. (r / 2-1)x^{r / 2-2}mi^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}mi^{-x / 2}

Ustawiamy tę pochodną na zero i uwzględniamy wyrażenie po prawej stronie:

0 = K x^{r / 2-1}mi^{-x / 2} [(r / 2-1)x^-1- 1/2]

Ponieważ stała K, funkcja wykładnicza i x^{r / 2-1} wszystkie są niezerowe, możemy podzielić obie strony równania przez te wyrażenia. Następnie mamy:

0 = (r / 2-1)x^-1- 1/2

Pomnóż obie strony równania przez 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Zatem 1 = (r - 2)x^-1i kończymy, mając x = r - 2. Jest to punkt wzdłuż osi poziomej, w którym występuje tryb. Wskazuje x wartość piku naszego rozkładu chi-kwadrat.

Inna cecha krzywej dotyczy sposobu jej zakrzywiania. Części krzywej mogą być wklęsłe, jak wielka litera U. Krzywe mogą być również wklęsłe i mieć kształt podobny do skrzyżowanie symbol ∩. Tam, gdzie krzywa zmienia się z wklęsłej na wklęsłą w ​​górę lub odwrotnie, mamy punkt przegięcia.

Druga pochodna funkcji wykrywa wklęsłość wykresu funkcji. Jeśli druga pochodna jest dodatnia, krzywa jest wklęsła w górę. Jeśli druga pochodna jest ujemna, krzywa jest wklęsła w dół. Kiedy druga pochodna jest równa zero, a wykres funkcji zmienia wklęsłość, mamy punkt przegięcia.

Aby znaleźć punkty przegięcia na wykresie:

1. Oblicz drugą pochodną naszej funkcji fa ''(x).
2. Ustaw tę drugą pochodną na zero.
3. Rozwiąż równanie z poprzedniego kroku dla x.

Teraz widzimy, jak wykonać powyższe kroki dla rozkładu chi-kwadrat. Zaczynamy od różnicowania. Z powyższej pracy zauważyliśmy, że pierwszą pochodną naszej funkcji jest:

fa '(x) = K. (r / 2-1) x^{r / 2-2}mi^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}mi^{-x / 2}

Rozróżniamy ponownie, używając reguły produktu dwa razy. Mamy:

fa ''( x ) = K. (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}mi^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2-1)x^{r / 2-2}mi^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}mi^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}mi^{-x / 2}

Ustawiamy to na zero i dzielimy obie strony przez Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2-1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Łącząc podobne terminy, mamy:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2-1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Pomnóż obie strony przez 4x^{3 - r / 2}, to daje nam:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Kwadratyczna formuła może teraz zostać użyta do rozwiązania x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Rozszerzamy warunki dotyczące mocy 1/2 i widzimy, co następuje:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

To znaczy że:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Z tego wynika, że ​​istnieją dwa punkty przegięcia. Ponadto punkty te są symetryczne względem trybu rozkładu, ponieważ (r - 2) znajduje się w połowie odległości między dwoma punktami przegięcia.

Widzimy, jak obie te funkcje są powiązane z liczbą stopni swobody. Możemy wykorzystać te informacje, aby pomóc w szkicowaniu rozkładu chi-kwadrat. Możemy również porównać ten rozkład z innymi, takimi jak rozkład normalny. Widzimy, że punkty przegięcia dla rozkładu chi-kwadrat występują w innych miejscach niż punkty przegięcia dla rozkładu normalnego.