Jaka jest skośność rozkładu wykładniczego?

Wspólny parametry dla rozkład prawdopodobieństwa obejmują średnią i odchylenie standardowe. Średnia daje pomiar środka, a odchylenie standardowe mówi o tym, jak rozłożony jest rozkład. Oprócz tych dobrze znanych parametrów istnieją inne, które zwracają uwagę na funkcje inne niż rozkład lub środek. Jednym z takich pomiarów jest pomiar skośność. Skośność umożliwia dołączenie wartości liczbowej do asymetrii rozkładu.

Jednym ważnym rozkładem, który zbadamy, jest rozkład wykładniczy. Zobaczymy, jak udowodnić, że skośność rozkładu wykładniczego wynosi 2.

Zaczynamy od podania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu wykładniczego. Każda z tych rozkładów ma parametr związany z parametrem z pokrewnego Proces Poissona. Ten rozkład oznaczamy jako Exp (A), gdzie A jest parametrem. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla tego rozkładu wynosi:

fa(x) = mi^-x/ZA/ A, gdzie x jest nieujemny.

Tutaj mi jest matematyczne stały mi to jest około 2,718281828. Zarówno średnia, jak i standardowe odchylenie rozkładu wykładniczego Exp (A) są powiązane z parametrem A. W rzeczywistości średnia i odchylenie standardowe są równe A.

Skośność jest definiowana przez wyrażenie związane z trzecim momentem o średniej. To wyrażenie jest wartością oczekiwaną:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Zamieniamy μ i σ na A, w wyniku czego skośność wynosi E [X³] / A³ – 4.

Pozostaje tylko obliczyć trzeci za chwilę o pochodzeniu. W tym celu musimy zintegrować następujące elementy:

∫^∞₀x³fa(x) dx.

Ta całka ma nieskończoność dla jednego z jej ograniczeń. W związku z tym można go ocenić jako całkę niewłaściwą typu I. Musimy także ustalić, jakiej techniki integracji użyć. Ponieważ funkcja do zintegrowania jest wynikiem funkcji wielomianowej i wykładniczej, musielibyśmy użyć integracja przez części. Ta technika integracji jest stosowana kilka razy. Rezultat końcowy jest taki:

DAWNY³] = 6A³

Następnie łączymy to z naszym poprzednim równaniem skośności. Widzimy, że skośność wynosi 6 - 4 = 2.

Należy zauważyć, że wynik jest niezależny od konkretnego rozkładu wykładniczego, od którego zaczynamy. Skośność rozkładu wykładniczego nie zależy od wartości parametru A.

Ponadto widzimy, że wynikiem jest dodatnia skośność. Oznacza to, że rozkład jest przekrzywiony w prawo. Nie powinno to dziwić, gdy myślimy o kształcie wykresu funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Wszystkie takie rozkłady mają przecięcie y jako 1 // theta i ogon, który przechodzi do skrajnej prawej strony wykresu, co odpowiada wysokim wartościom zmiennej x.

Oczywiście powinniśmy również wspomnieć, że istnieje inny sposób obliczania skośności. Możemy wykorzystać funkcję generowania momentu do rozkładu wykładniczego. Pierwsza pochodna funkcja generowania momentu ocenione na 0 daje nam E [X]. Podobnie, trzecia pochodna funkcji generowania momentu, gdy jest oceniana na 0, daje nam E (X³].