Arkusz roboczy dotyczący nierówności Czebyszewa

Nierówność Czebyszewa mówi, że co najmniej 1 -1 /K.² danych z próbki musi się mieścić K.odchylenia standardowe z oznaczać, gdzieK. jest jakikolwiek pozytywny prawdziwy numer większy niż jeden. Oznacza to, że nie musimy znać kształtu dystrybucji naszych danych. Za pomocą jedynie średniej i odchylenia standardowego możemy określić ilość danych o pewną liczbę odchyleń standardowych od średniej.

Oto niektóre problemy, które należy przećwiczyć przy użyciu nierówności.

Klasa drugiej równiarki ma średnią wysokość pięciu stóp ze standardowym odchyleniem wynoszącym jeden cal. Przynajmniej jaki procent klasy musi być między 4'10 ”a 5'2”?

Wysokości podane w powyższym zakresie mieszczą się w dwóch standardowych odchyleniach od średniej wysokości pięciu stóp. Nierówność Czebyszewa mówi, że co najmniej 1 - 1/2² = 3/4 = 75% klasy znajduje się w podanym zakresie wysokości.

Stwierdzono, że komputery z konkretnej firmy działają średnio przez trzy lata bez awarii sprzętu, przy standardowym odchyleniu wynoszącym dwa miesiące. Przynajmniej jaki procent komputerów działa między 31 a 41 miesiącem?

Średni czas życia wynoszący trzy lata odpowiada 36 miesiącom. Czasy od 31 miesięcy do 41 miesięcy wynoszą 5/2 = 2,5 odchylenia standardowego od średniej. Przy nierównościach Czebyszewa co najmniej 1 - 1 / (2,5) 6² = 84% komputerów działa od 31 miesięcy do 41 miesięcy.

Bakterie w hodowli żyją średnio przez trzy godziny ze standardowym odchyleniem 10 minut. Przynajmniej jaka część bakterii żyje od dwóch do czterech godzin?

Dwie i cztery godziny są oddalone o godzinę od średniej. Jedna godzina odpowiada sześciu odchyleniom standardowym. Co najmniej 1 - 1/6² = 35/36 = 97% bakterii żyje od dwóch do czterech godzin.

Jaka jest najmniejsza liczba odchyleń standardowych od średniej, którą musimy przejść, jeśli chcemy zapewnić, że mamy co najmniej 50% danych rozkładu?

Tutaj wykorzystujemy nierówność Czebyszewa i pracujemy wstecz. Chcemy 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K.². Celem jest użycie algebry do rozwiązania K..

Widzimy, że 1/2 = 1 /K.². Krzyżuj pomnóż i zobacz, że 2 =K.². Bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron i odtąd K. jest liczbą standardowych odchyleń, ignorujemy negatywne rozwiązanie równania. To pokazuje że K. jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch. Co najmniej 50% danych mieści się w zakresie około 1,4 standardowych odchyleń od średniej.

Trasa autobusowa nr 25 zajmuje średnio 50 minut ze standardowym odchyleniem 2 minut. Plakat promocyjny tego systemu autobusowego stwierdza, że ​​„95% trasy autobusu nr 25 trwa od ____ do _____ minut”. Jakimi liczbami wypełniłbyś puste pola?

To pytanie jest podobne do ostatniego, w którym musimy rozwiązać K., liczba standardowych odchyleń od średniej. Zacznij od ustawienia 95% = 0,95 = 1 - 1 /K.². To pokazuje, że 1 - 0,95 = 1 /K.². Uprość, aby zobaczyć, że 1 / 0,05 = 20 = K.². Więc K. = 4.47.

Teraz wyraż to w powyższy sposób. Co najmniej 95% wszystkich przejażdżek to 4,47 standardowych odchyleń od średniego czasu 50 minut. Pomnóż 4,47 przez standardowe odchylenie 2, aby otrzymać dziewięć minut. Tak więc w 95% przypadków trasa autobusowa nr 25 zajmuje od 41 do 59 minut.