Istnieje kilka właściwości matematycznych, które są używane w Statystyka i prawdopodobieństwo; dwie z nich, przemienne i asocjacyjne, są na ogół związane z podstawową arytmetyką liczby całkowite, racjonalne i liczby rzeczywiste, choć pojawiają się również w bardziej zaawansowanej matematyce.
Te właściwości - przemienne i asocjacyjne - są bardzo podobne i można je łatwo pomieszać. Z tego powodu ważne jest, aby zrozumieć różnicę między nimi.
Właściwość przemienna dotyczy kolejności niektórych operacji matematycznych. W przypadku operacji binarnej - takiej, która obejmuje tylko dwa elementy - można to wykazać równaniem a + b = b + a. Operacja jest przemienna, ponieważ kolejność elementów nie wpływa na wynik operacji. Natomiast właściwość asocjacyjna dotyczy grupowania elementów w operacji. Można to wykazać równaniem (a + b) + c = a + (b + c). Grupowanie elementów, jak wskazano w nawiasach, nie wpływa na wynik równania. Zauważ, że gdy używana jest właściwość przemienna, elementami w równaniu są przestawiony. Gdy używana jest właściwość asocjacyjna, elementy są po prostu przegrupowane.
Własność przemienna
Mówiąc najprościej, przemienna właściwość stwierdza, że czynniki w równaniu można dowolnie zmieniać, bez wpływu na wynik równania. W związku z tym własność przemienna dotyczy samego uporządkowania operacji, w tym dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych, liczb całkowitych i liczb wymiernych.
Na przykład liczby 2, 3 i 5 można dodawać razem w dowolnej kolejności bez wpływu na wynik końcowy:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Liczby można również pomnożyć w dowolnej kolejności bez wpływu na wynik końcowy:
2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30
Odejmowanie i dzielenie nie są jednak operacjami, które mogą być przemienne, ponieważ kolejność operacji jest ważna. Trzy liczby powyżej Nie mogę, na przykład, odejmij w dowolnej kolejności bez wpływu na ostateczną wartość:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
W rezultacie właściwość przemienną można wyrazić za pomocą równań a + b = b + a oraz a x b = b x a. Bez względu na kolejność wartości w tych równaniach wyniki zawsze będą takie same.
Łączność
Właściwość asocjacyjna stwierdza, że grupowanie czynników w operacji można zmienić bez wpływu na wynik równania. Można to wyrazić równaniem a + (b + c) = (a + b) + c. Bez względu na to, która para wartości w równaniu zostanie dodana jako pierwsza, wynik będzie taki sam.
Weźmy na przykład równanie 2 + 3 + 5. Bez względu na to, jak wartości są pogrupowane, wynikiem równania będzie 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Podobnie jak w przypadku właściwości przemiennej, przykłady operacji, które są asocjatywne, obejmują dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych, liczb całkowitych i liczb wymiernych. Jednak w przeciwieństwie do właściwości przemiennej, właściwość asocjacyjna może również dotyczyć mnożenia macierzy i kompozycji funkcji.
Podobnie jak komutacyjne równania własności, asocjacyjne równania własności nie mogą zawierać odejmowania liczb rzeczywistych. Weźmy na przykład problem arytmetyczny (6–3) - 2 = 3–2 = 1; jeśli zmienimy grupowanie nawiasów, otrzymamy 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, co zmienia końcowy wynik równania.
Jaka jest różnica?
Możemy odróżnić właściwość asocjacyjną od przemiennej, zadając pytanie: „Czy zmieniamy kolejność elementy, czy zmieniamy grupowanie elementów? ” Jeśli kolejność elementów jest zmieniana, to właściwość przemienna dotyczy. Jeśli elementy są tylko przegrupowane, wówczas obowiązuje właściwość asocjacyjna.
Należy jednak pamiętać, że sama obecność nawiasów niekoniecznie oznacza, że ma zastosowanie właściwość asocjacyjna. Na przykład:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
To równanie jest przykładem przemiennej właściwości dodawania liczb rzeczywistych. Jeśli jednak uważnie przyjrzymy się równaniu, zobaczymy, że zmieniła się tylko kolejność elementów, a nie grupowanie. Aby zastosować właściwość asocjacyjną, musielibyśmy również zmienić układ grup elementów:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3