Wskazówki i zasady ustalania znaczących liczb

Każdy pomiar wiąże się z pewnym stopniem niepewności. Niepewność wynika z urządzenia pomiarowego i umiejętności osoby dokonującej pomiaru.

Jako przykład wykorzystajmy pomiar objętości. Powiedz, że jesteś w laboratorium chemiczne i potrzebuję 7 ml wody. Możesz wziąć nieoznakowany kubek kawy i dolać wody, dopóki nie pomyślisz, że masz około 7 mililitrów. W tym przypadku większość błędu pomiaru wiąże się ze umiejętnościami osoby wykonującej pomiar. Możesz użyć zlewki oznaczonej co 5 ml. Za pomocą zlewki można łatwo uzyskać objętość od 5 do 10 ml, prawdopodobnie blisko 7 ml, podać lub przyjąć 1 ml. Jeśli użyjesz pipety oznaczonej 0,1 ml, możesz całkiem niezawodnie uzyskać objętość między 6,99 a 7,01 ml. Byłoby nieprawdziwe zgłaszanie, że zmierzyłeś 7.000 ml za pomocą któregokolwiek z tych urządzeń, ponieważ nie zmierzyłeś objętości do najbliższego mikrolitr. Zgłosiłbyś swój pomiary używając znaczących liczb. Obejmują one wszystkie znane cyfry plus ostatnia cyfra, która zawiera pewną niepewność.

• Cyfry niezerowe są zawsze znaczące.
• Wszystkie zera między innymi cyframi znaczącymi są znaczące.
• Liczbę cyfr znaczących określa się, rozpoczynając od lewej niezerowej cyfry. Lewa niezerowa cyfra jest czasami nazywana najbardziej znacząca cyfra albo najbardziej znacząca liczba. Na przykład w liczbie 0,004205 „4” jest liczbą najbardziej znaczącą. 0 po lewej stronie nie są znaczące. Zero między „2” i „5” jest znaczące.
• Najbardziej po prawej stronie cyfra dziesiętna jest najmniej znaczącą cyfrą lub najmniej znacząca liczba. Innym sposobem spojrzenia na najmniej znaczącą liczbę jest uznanie jej za najbardziej prawą cyfrę, gdy liczba jest zapisana w notacji naukowej. Najmniej znaczące liczby są nadal znaczące! W liczbie 0,004205 (którą można zapisać jako 4,205 x 10^-3), „5” jest najmniej znaczącą liczbą. W liczbie 43.120 (którą można zapisać jako 4,3210 x 10¹), „0” jest najmniej znaczącą liczbą.
• Jeśli nie występuje kropka dziesiętna, cyfra najbardziej niezerowa po prawej stronie jest liczbą najmniej znaczącą. W liczbie 5800 najmniej znaczącą liczbą jest „8”.

Zmierzone wielkości są często wykorzystywane w obliczeniach. Precyzja obliczeń jest ograniczona precyzją pomiarów, na których jest oparta.

• Dodawanie i odejmowanie
  W przypadku dodawania lub odejmowania zmierzonych wielkości niepewność jest określana przez niepewność absolutną w najmniej dokładnym pomiarze (a nie przez liczbę cyfr znaczących). Czasami uważa się, że jest to liczba cyfr po przecinku.
  32,01 m
  5,325 m
  12 m
  Łącznie otrzymasz 49,335 m, ale sumę należy zgłosić jako metry „49”.
• Mnożenie i dzielenie
  Kiedy wielkości eksperymentalne są pomnożone lub podzielone, liczba znaczących liczb w wyniku jest taka sama, jak w ilości o najmniejszej liczbie znaczących liczb. Jeśli na przykład: obliczanie gęstości wytwarza się, w którym 25,624 gramów dzieli się przez 25 ml, gęstość należy podać jako 1,0 g / ml, a nie jako 1,0000 g / ml lub 1.000 g / ml.

Czasami znaczące liczby są „tracone” podczas wykonywania obliczeń. Na przykład, jeśli okaże się, że masa zlewki wynosi 53,110 g, dodaj wodę do zlewki i okaże się, że masa zlewki plus woda wynosi 53,987 g, masa wody to 53,987-53,110 g = 0,877 g
Ostateczna wartość ma tylko trzy cyfry znaczące, chociaż każdy pomiar masy zawierał 5 cyfr znaczących.

Istnieją różne metody zaokrąglania liczb. Zwykłą metodą jest zaokrąglanie liczb z cyframi mniejszymi niż 5 w dół i liczb z cyframi większymi niż 5 w górę (niektórzy ludzie zaokrąglają dokładnie 5 w górę, a inni zaokrąglają w dół).

Przykład:
Jeśli odejmujesz 7,799 g - 6,25 g, twoje obliczenia dałyby 1,549 g. Liczba ta zostanie zaokrąglona do 1,55 g, ponieważ cyfra „9” jest większa niż „5”.

W niektórych przypadkach liczby są skracane lub skracane, a nie zaokrąglane, aby uzyskać odpowiednie znaczące liczby. W powyższym przykładzie 1,549 g można było skrócić do 1,54 g.

Czasami liczby użyte w obliczeniach są dokładne, a nie przybliżone. Jest to prawdą, gdy stosuje się określone wielkości, w tym wiele współczynników przeliczeniowych, i gdy stosuje się liczby czyste. Czyste lub zdefiniowane liczby nie wpływają na dokładność obliczeń. Możesz myśleć o nich jako o nieskończonej liczbie znaczących liczb. Czyste liczby są łatwe do wykrycia, ponieważ nie mają jednostek. Zdefiniowane wartości lub przeliczniki, podobnie jak wartości zmierzone, mogą mieć jednostki. Przećwicz ich identyfikację!

Przykład:
Chcesz obliczyć średnią wysokość trzech roślin i zmierzyć następujące wysokości: 30,1 cm, 25,2 cm, 31,3 cm; o średniej wysokości (30,1 + 25,2 + 31,3) / 3 = 86,6 / 3 = 28,87 = 28,9 cm. Na wysokości znajdują się trzy znaczące postacie. Nawet jeśli dzielisz sumę przez jedną cyfrę, trzy znaczące liczby powinny zostać zachowane w obliczeniach.

Dokładność i precyzja to dwie odrębne koncepcje. Klasyczna ilustracja odróżniająca te dwie rzeczy to rozważenie celu lub tarczy. Strzałki otaczające dziesiątkę wskazują na wysoki stopień celności; strzały bardzo blisko siebie (być może nigdzie w pobliżu tarczy) wskazują na wysoki stopień precyzji. Aby być dokładnym, strzała musi znajdować się w pobliżu celu; aby być precyzyjnym, kolejne strzałki muszą znajdować się blisko siebie. Konsekwentne uderzanie w sam środek tarczy wskazuje zarówno celność, jak i precyzję.

Rozważ skalę cyfrową. Jeśli wielokrotnie ważysz tę samą pustą zlewkę, waga da wartości z wysokim stopniem dokładności (powiedzmy 135,776 g, 135,775 g, 135,776 g). Rzeczywista masa zlewki może być bardzo różna. Wagi (i inne przyrządy) należy skalibrować! Przyrządy zwykle zapewniają bardzo dokładne odczyty, ale dokładność wymaga kalibracji. Termometry są notorycznie niedokładne, często wymagają kilkukrotnej ponownej kalibracji przez cały okres użytkowania urządzenia. Wagi również wymagają ponownej kalibracji, szczególnie jeśli zostaną przesunięte lub źle traktowane.