Rozwiąż równania: wzrost wykładniczy

Funkcje wykładnicze opowiadają o wybuchowych zmianach. Dwa typy funkcji wykładniczych to wykładniczy wzrost i rozkład wykładniczy. Cztery zmienne - zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu - odgrywają role w funkcjach wykładniczych. W tym artykule skupiono się na tym, jak używać problemów ze słowami, aby znaleźć kwotę na początku okresu, za.

Wzrost wykładniczy: zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zwiększana o stałą stawkę przez pewien okres czasu

Zastosowania wykładniczego wzrostu w prawdziwym życiu:

• Wartości cen mieszkań
• Wartości inwestycji
• Zwiększone członkostwo popularnego serwisu społecznościowego

Oto wykładnicza funkcja wzrostu:

y = za(1 + b)^x

• y: Ostateczna kwota pozostała przez pewien czas
• za: Oryginalna kwota
• x: Czas
• The czynnik wzrostu to (1 + b).
• Zmienna b, to procentowa zmiana w postaci dziesiętnej.

Jeśli czytasz ten artykuł, prawdopodobnie jesteś ambitny. Za sześć lat być może chcesz kontynuować studia licencjackie na Dream University. Przy cenie 120 000 $ Dream University wywołuje nocne lęki finansowe. Po nieprzespanych nocach ty, mama i tata spotykacie się z planistą finansowym. Przekrwione oczy twoich rodziców rozjaśniają się, gdy planista ujawnia inwestycję z 8% stopą wzrostu, która może pomóc twojej rodzinie osiągnąć cel 120 000 $. Ucz się ciężko. Jeśli ty i twoi rodzice zainwestujecie dzisiaj 75 620,36 $, Dream University stanie się waszą rzeczywistością.

Ta funkcja opisuje wykładniczy wzrost inwestycji:

120,000 = za(1 +.08)⁶

• 120 000: Ostateczna kwota pozostała po 6 latach
• .08: Roczna stopa wzrostu
• 6: Liczba lat wzrostu inwestycji
• Odp.: Początkowa kwota, którą zainwestowała Twoja rodzina

Wskazówka: Dzięki symetrycznej właściwości równości 120 000 = za(1 +.08)⁶ jest taki sam jak za(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symetryczna właściwość równości: jeśli 10 + 5 = 15, to 15 = 10 +5.)

Jeśli wolisz przepisać równanie ze stałą 120 000 po prawej stronie równania, zrób to.

za(1 +.08)⁶ = 120,000

To prawda, że ​​równanie nie wygląda jak równanie liniowe (6za = 120 000 USD), ale można go rozwiązać. Zostać przy tym!

za(1 +.08)⁶ = 120,000

Uważaj: nie rozwiązuj tego równania wykładniczego, dzieląc 120 000 przez 6. To kusząca matematyka nie-nie.

1. Posługiwać się Kolejność operacji ułatwiać.

za(1 +.08)⁶ = 120,000
za(1.08)⁶ = 120 000 (nawias)
za(1.586874323) = 120 000 (wykładnik)

2. Rozwiąż, dzieląc

za(1.586874323) = 120,000
za(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1za = 75,620.35523
za = 75,620.35523

Pierwotna kwota do zainwestowania wynosi około 75 620,36 USD.

3. Zatrzymaj - jeszcze nie skończyłeś. Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.

120,000 = za(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Nawias)
120 000 = 75 620 355523 (1,586874323) (wykładnik)
120 000 = 120 000 (mnożenie)

Oryginalny arkusz roboczy

Farmer and Friends
Skorzystaj z informacji o portalu społecznościowym rolnika, aby odpowiedzieć na pytania 1-5.

Rolnik założył portal społecznościowy farmerandfriends.org, który udostępnia porady dotyczące ogrodnictwa przydomowego. Gdy farmerandfriends.org umożliwiło członkom publikowanie zdjęć i filmów, liczba członków witryny wzrosła wykładniczo. Oto funkcja opisująca ten wykładniczy wzrost.

120,000 = za(1 + .40)⁶

1. Ile osób należy do farmerandfriends.org 6 miesięcy po włączeniu udostępniania zdjęć i filmów? 120 000 osób
   Porównaj tę funkcję z oryginalną funkcją wzrostu wykładniczego:
   120,000 = za(1 + .40)⁶
   y = za(1 +b)^x
   Oryginalna kwota, y, jest 120 000 w tej funkcji dotyczącej sieci społecznościowych.
2. Czy ta funkcja reprezentuje wykładniczy wzrost lub rozkład? Ta funkcja reprezentuje wzrost wykładniczy z dwóch powodów. Powód 1: akapit informacyjny ujawnia, że ​​„liczba członków witryny wzrosła wykładniczo”. Powód 2: Znak pozytywny jest tuż przed b, miesięczna zmiana procentowa.
3. Jaki jest miesięczny wzrost lub spadek? Miesięczny wzrost procentowy wynosi 40%, 0,40 zapisany jako procent.
4. Ilu członków należało do farmerandfriends.org 6 miesięcy temu, tuż przed wprowadzeniem udostępniania zdjęć i wideo? Około 15 937 członków
   Aby uprościć, użyj kolejności operacji.
   120,000 = za(1.40)⁶
   120,000 = za(7.529536)
   Podziel się, aby rozwiązać.
   120,000/7.529536 = za(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1za
   15,937.23704 = za
   Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Jeśli te trendy utrzymają się, ilu członków będzie należeć do strony internetowej po 12 miesiącach od wprowadzenia udostępniania zdjęć i filmów? Około 903 544 członków
   Podłącz to, co wiesz o funkcji. Pamiętaj, że tym razem masz za, pierwotna kwota. Rozwiązujesz sprawę y, kwota pozostała na koniec okresu.
   y = za(1 + .40)^x
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Aby znaleźć, użyj kolejności operacji y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203