Integracja przez części jest jedną z wielu technik integracji, które są używane rachunek różniczkowy. Ta metoda integracji może być uważana za sposób na cofnięcie reguła produktu. Jedną z trudności w stosowaniu tej metody jest określenie, która funkcja w naszym integrandzie powinna być dopasowana do której części. Skrót LIPET może być użyty, aby dostarczyć wskazówek, jak podzielić części naszej całki.
Integracja przez części
Przywołaj metodę integracji według części. Wzór tej metody jest następujący:
∫ u rev = UV - ∫ v reu.
Ta formuła pokazuje, która część integrandu ma być równa u i która część ma być równa dv. LIPET to narzędzie, które może nam pomóc w tym przedsięwzięciu.
Skrót LIPET
Słowo „LIPET” to akronim, co oznacza, że każda litera oznacza słowo. W takim przypadku litery reprezentują różne typy funkcji. Są to:
- L = funkcja logarytmiczna
- I = Odwrotna funkcja trygonometryczna
- P = Funkcja wielomianu
- E = funkcja wykładnicza
- T = funkcja trygonometryczna
Daje to systematyczną listę tego, co należy ustawić na równe
u w formule całkowania według części. Jeśli istnieje funkcja logarytmiczna, spróbuj ustawić ją na wartość równą u, przy czym reszta całki jest równa dv. Jeśli nie ma logarytmicznych lub odwrotnych funkcji wyzwalania, spróbuj ustawić wielomian równy u. Poniższe przykłady pomagają wyjaśnić użycie tego akronimu.Przykład 1
Zastanów się ∫ x lnx rex. Ponieważ istnieje funkcja logarytmiczna, ustaw tę funkcję na wartość u = ln x. Reszta całki to dv = x rex. Wynika z tego, że du = dx / x i to v = x2/ 2.
Ten wniosek można znaleźć metodą prób i błędów. Inną opcją byłoby ustawienie u = x. Tak więc du byłoby bardzo łatwe do obliczenia. Problem pojawia się, gdy spojrzymy na dv = lnx. Zintegruj tę funkcję, aby ustalić v. Niestety jest to bardzo trudna do obliczenia całka.
Przykład 2
Rozważ całkę ∫ x sałata x rex. Zacznij od pierwszych dwóch liter w LIPET. Nie ma funkcji logarytmicznych ani odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Kolejna litera w LIPET, a P, oznacza wielomiany. Ponieważ funkcja x jest zestawem wielomianu u = x oraz dv = cos x.
Jest to właściwy wybór, aby dokonać integracji części jako du = dx i v = grzech x. Całka staje się:
x grzech x - ∫ grzech x rex.
Uzyskaj całkę przez bezpośrednią integrację grzechu x.
Kiedy LIPET nie działa
W niektórych przypadkach LIPET zawodzi, co wymaga ustawienia u równa funkcji innej niż określona przez LIPET. Z tego powodu akronim ten należy traktować jedynie jako sposób uporządkowania myśli. Skrót LIPET zapewnia nam również zarys strategii, którą należy wypróbować, używając integracji z częściami. Nie jest to matematyczne twierdzenie ani zasada, które zawsze są sposobem na rozwiązanie problemu integracji przez części.