Jaki jest standardowy rozkład normalny w statystykach?

Krzywe dzwonowe pokazują się w statystykach. Różnorodne pomiary, takie jak średnice nasion, długości płetw rybnych, nacięcia na SAT i ciężary poszczególnych arkuszy ryz papieru, tworzą krzywe dzwonowe, gdy są one wykreślone. Ogólny kształt wszystkich tych krzywych jest taki sam. Ale wszystkie te krzywe są różne, ponieważ jest bardzo mało prawdopodobne, aby którakolwiek z nich miała tę samą średnią lub standardowe odchylenie. Krzywe dzwonowe z dużymi odchyleniami standardowymi są szerokie, a krzywe dzwonowe z małymi odchyleniami standardowymi są wąskie. Krzywe dzwonu z większymi środkami są przesunięte bardziej w prawo niż te z mniejszymi środkami.

Aby uczynić to trochę bardziej konkretnym, udawajmy, że mierzymy średnice 500 ziaren kukurydzy. Następnie rejestrujemy, analizujemy i sporządzamy wykresy tych danych. Stwierdzono, że zestaw danych ma kształt krzywej dzwonowej i ma średnią wartość 1,2 cm przy standardowym odchyleniu wynoszącym 0,4 cm. Załóżmy teraz, że robimy to samo z 500 ziarnami i stwierdzamy, że mają one średnią średnicę 0,8 cm przy standardowym odchyleniu 0,04 cm.

Krzywe dzwonkowe z obu tych zestawów danych są wykreślone powyżej. Czerwona krzywa odpowiada danym z kukurydzy, a zielona krzywa odpowiada danym z ziaren. Jak widzimy, środki i rozpiętości tych dwóch krzywych są różne.

Są to wyraźnie dwie różne krzywe dzwonowe. Różnią się, ponieważ ich środki i odchylenia standardowe nie pasuj. Ponieważ każdy interesujący zestaw danych, na jaki natrafimy, może mieć dowolną liczbę dodatnią jako odchylenie standardowe i dowolną liczbę średnią, tak naprawdę po prostu drapiemy powierzchnię nieskończony liczba krzywych dzwonowych. To dużo krzywych i zdecydowanie za dużo, by sobie z tym poradzić. Jakie jest rozwiązanie

Jednym z celów matematyki jest uogólnienie, gdy tylko jest to możliwe. Czasami kilka indywidualnych problemów to szczególne przypadki pojedynczego problemu. Ta sytuacja z krzywymi dzwonowymi jest tego świetną ilustracją. Zamiast zajmować się nieskończoną liczbą krzywych dzwonowych, możemy powiązać je wszystkie z jedną krzywą. Ta specjalna krzywa dzwonowa nazywana jest standardową krzywą dzwonową lub standardowym rozkładem normalnym.

Standardowa krzywa dzwonowa ma średnią zero i standardowe odchylenie jeden. Każdą inną krzywą dzwonową można porównać do tego standardu za pomocą a proste obliczenia.

Wszystkie właściwości dowolnej krzywej dzwonowej obowiązują dla standardowego rozkładu normalnego.

• Standardowy rozkład normalny ma nie tylko średnią zero, ale także medianę i mod zerowy. To jest środek krzywej.
• Standardowy rozkład normalny pokazuje symetrię zwierciadła przy zerze. Połowa krzywej znajduje się na lewo od zera, a połowa krzywej na prawo. Gdyby krzywa została złożona wzdłuż linii pionowej w punkcie zerowym, obie połowy byłyby idealnie dopasowane.
• Standardowy rozkład normalny jest zgodny z regułą 68-95-99.7, co daje nam łatwy sposób oszacowania:
  • Około 68% wszystkich danych zawiera się w przedziale od -1 do 1.
  • Około 95% wszystkich danych zawiera się w przedziale od -2 do 2.
  • Około 99,7% wszystkich danych zawiera się w przedziale od -3 do 3.

W tym momencie możemy zapytać: „Po co zawracać sobie głowę standardową krzywą dzwonową?” Może to wydawać się niepotrzebną komplikacją, ale standardowa krzywa dzwonowa będzie korzystna, gdy będziemy kontynuować statystyki.

Przekonamy się, że jeden rodzaj problemu w statystykach wymaga od nas znalezienia obszarów pod częściami jakiejkolwiek krzywej dzwonowej, którą napotykamy. Krzywa dzwonowa nie jest ładnym kształtem dla obszarów. To nie jest jak prostokąt lub trójkąt prostokątny które mają łatwe formuły obszarowe. Znalezienie obszarów części krzywej dzwonowej może być trudne, tak trudne, że musielibyśmy użyć rachunku różniczkowego. Jeśli nie znormalizujemy naszych krzywych dzwonowych, będziemy musieli wykonać rachunek różniczkowy za każdym razem, gdy chcemy znaleźć obszar. Jeśli znormalizujemy nasze krzywe, cała praca nad obliczaniem obszarów została dla nas wykonana.