Przykład testu permutacji

Jedno pytanie, które zawsze jest ważne Statystyka to: „Czy zaobserwowany wynik wynika wyłącznie z przypadku, czy jest nim statystycznie znaczące? Jedna klasa testy hipotez, zwane testami permutacji, pozwalają nam przetestować to pytanie. Przegląd i kroki takiego testu to:

• Podzieliliśmy naszych badanych na grupę kontrolną i eksperymentalną. Hipotezą zerową jest to, że nie ma różnicy między tymi dwiema grupami.
• Zastosuj leczenie w grupie eksperymentalnej.
• Zmierz odpowiedź na leczenie
• Rozważ każdą możliwą konfigurację grupy eksperymentalnej i obserwowaną odpowiedź.
• Oblicz wartość p na podstawie naszej zaobserwowanej odpowiedzi w odniesieniu do wszystkich potencjalnych grup eksperymentalnych.

To jest zarys permutacji. Dla uproszczenia tego szkicu poświęcimy czas na szczegółowe przeanalizowanie opracowanego przykładu takiego testu permutacji.

Załóżmy, że badamy myszy. W szczególności interesuje nas, jak szybko myszy kończą labirynt, z którym nigdy wcześniej się nie spotkały. Chcemy przedstawić dowody na korzyść eksperymentalnego leczenia. Celem jest wykazanie, że myszy w grupie leczonej rozwiążą labirynt szybciej niż myszy nieleczone.

Zaczynamy od naszych badanych: sześć myszy. Dla wygody myszy będą oznaczane literami A, B, C, D, E, F. Trzy z tych myszy zostaną losowo wybrane do eksperymentalnego leczenia, a pozostałe trzy zostaną umieszczone w grupie kontrolnej, w której osobnicy otrzymują placebo.

Następnie losowo wybierzemy kolejność wybierania myszy do labiryntu. Zostanie odnotowany czas spędzony na ukończeniu labiryntu dla wszystkich myszy i zostanie obliczona średnia dla każdej grupy.

Załóżmy, że nasza losowa selekcja obejmuje myszy A, C i E w grupie eksperymentalnej, a inne myszy w placebo Grupa kontrolna. Po wdrożeniu leczenia losowo wybieramy kolejność, w której myszy biegną przez labirynt.

Czasy przebiegu dla każdej myszy są następujące:

• Mysz A uruchamia wyścig w 10 sekund
• Mysz B prowadzi wyścig w 12 sekund
• Mysz C prowadzi wyścig w 9 sekund
• Mysz D uruchamia wyścig w 11 sekund
• Mysz E prowadzi wyścig w 11 sekund
• Mysz F uruchamia wyścig w 13 sekund.

Średni czas ukończenia labiryntu myszy w grupie eksperymentalnej wynosi 10 sekund. Średni czas na ukończenie labiryntu w grupie kontrolnej wynosi 12 sekund.

Moglibyśmy zadać kilka pytań. Czy leczenie naprawdę jest przyczyną szybszego średniego czasu? A może mieliśmy po prostu szczęście w naszej grupie kontrolnej i eksperymentalnej? Leczenie mogło nie przynieść żadnego efektu i losowo wybraliśmy wolniejsze myszy do otrzymania placebo i szybsze myszy do otrzymania leczenia. Test permutacji pomoże odpowiedzieć na te pytania.

Hipotezami dla naszego testu permutacji są:

• The Hipoteza zerowa jest stwierdzeniem braku efektu. W tym konkretnym teście mamy H₀: Nie ma różnicy między grupami leczenia. Średni czas uruchomienia labiryntu dla wszystkich myszy bez leczenia jest taki sam jak średni czas dla wszystkich myszy poddanych leczeniu.
• Alternatywna hipoteza jest tym, na co staramy się ustalić dowody. W takim przypadku mielibyśmy H_za: Średni czas dla wszystkich myszy poddanych leczeniu będzie szybszy niż średni czas dla wszystkich myszy bez leczenia.

Jest sześć myszy i są trzy miejsca w grupie eksperymentalnej. Oznacza to, że liczba możliwych grup eksperymentalnych jest określona liczbą kombinacji C (6,3) = 6! / (3! 3!) = 20. Pozostałe osoby byłyby częścią grupy kontrolnej. Istnieje więc 20 różnych sposobów losowego wyboru osób z naszych dwóch grup.

Przypisanie A, C i E do grupy eksperymentalnej przeprowadzono losowo. Ponieważ istnieje 20 takich konfiguracji, konkretna konfiguracja z A, C i E w grupie eksperymentalnej ma prawdopodobieństwo 1/20 = 5% wystąpienia.

Musimy ustalić wszystkie 20 konfiguracji eksperymentalnej grupy osób w naszym badaniu.

1. Grupa eksperymentalna: A B C i grupa kontrolna: D E F
2. Grupa eksperymentalna: A B D i grupa kontrolna: C E F
3. Grupa eksperymentalna: A B E i grupa kontrolna: C D F
4. Grupa eksperymentalna: A B F i grupa kontrolna: C D E
5. Grupa eksperymentalna: A C D i grupa kontrolna: B E F
6. Grupa eksperymentalna: A C E i grupa kontrolna: B D F
7. Grupa eksperymentalna: A C F i grupa kontrolna: B D E
8. Grupa eksperymentalna: A D E i grupa kontrolna: B C F
9. Grupa eksperymentalna: A D F i grupa kontrolna: B C E
10. Grupa eksperymentalna: A E F i grupa kontrolna: B C D
11. Grupa eksperymentalna: B C D i Grupa kontrolna: A E F
12. Grupa eksperymentalna: B C E i grupa kontrolna: A D F
13. Grupa eksperymentalna: B C F i Grupa kontrolna: A D E
14. Grupa eksperymentalna: B D E i grupa kontrolna: A C F
15. Grupa eksperymentalna: B D F i grupa kontrolna: A C E
16. Grupa eksperymentalna: B E F i grupa kontrolna: A C D
17. Grupa eksperymentalna: C D E i grupa kontrolna: A B F.
18. Grupa eksperymentalna: C D F i grupa kontrolna: A B E
19. Grupa eksperymentalna: C E F i grupa kontrolna: A B D
20. Grupa eksperymentalna: D E F i grupa kontrolna: A B C

Następnie przyglądamy się każdej konfiguracji grup eksperymentalnych i kontrolnych. Obliczamy średnią dla każdej z 20 permutacji z powyższej listy. Na przykład dla pierwszego A, B i C mają czasy odpowiednio 10, 12 i 9. Średnia z tych trzech liczb wynosi 10,3333. Również w tej pierwszej permutacji D, E i F mają czasy odpowiednio 11, 11 i 13. Ma to średnio 11.6666.

Po obliczeniu średnia z każdej grupy, obliczamy różnicę między tymi średnimi. Każde z poniższych odpowiada różnicy między grupami eksperymentalną i kontrolną, które zostały wymienione powyżej.

1. Placebo - leczenie = 1,333333333 sekundy
2. Placebo - leczenie = 0 sekund
3. Placebo - leczenie = 0 sekund
4. Placebo - leczenie = -1.333333333 sekund
5. Placebo - leczenie = 2 sekundy
6. Placebo - leczenie = 2 sekundy
7. Placebo - leczenie = 0,6666666667 sekund
8. Placebo - leczenie = 0,6666666667 sekund
9. Placebo - leczenie = -0,666666667 sekund
10. Placebo - leczenie = -0,666666667 sekund
11. Placebo - leczenie = 0,6666666667 sekund
12. Placebo - leczenie = 0,6666666667 sekund
13. Placebo - leczenie = -0,666666667 sekund
14. Placebo - leczenie = -0,666666667 sekund
15. Placebo - leczenie = -2 sekundy
16. Placebo - leczenie = -2 sekundy
17. Placebo - leczenie = 1,333333333 sekundy
18. Placebo - leczenie = 0 sekund
19. Placebo - leczenie = 0 sekund
20. Placebo - leczenie = -1.333333333 sekund

Teraz oceniamy różnice między średnimi z każdej grupy, które zauważyliśmy powyżej. Tabelujemy również odsetek naszych 20 różnych konfiguracji, które są reprezentowane przez każdą różnicę średnich. Na przykład cztery z 20 nie miały różnicy między średnimi grupy kontrolnej i leczonej. Stanowi to 20% z 20 konfiguracji wymienionych powyżej.

• -2 za 10%
• -1,33 za 10%
• -0,667 za 20%
• 0 za 20%
• 0,667 za 20%
• 1,33 za 10%
• 2 za 10%.

Tutaj porównujemy tę listę z naszym zaobserwowanym wynikiem. Nasza losowa selekcja myszy do grup leczonych i kontrolnych dała średnią różnicę 2 sekund. Widzimy również, że różnica ta odpowiada 10% wszystkich możliwych próbek. W rezultacie do tego badania mamy wartość p 10%.