Jaka jest nierówność Markowa?

Nierówność Markowa jest pomocnym wynikiem w prawdopodobieństwie, które daje informacje o rozkład prawdopodobieństwa. Niezwykłym aspektem tego jest to, że nierówność dotyczy każdego rozkładu o wartościach dodatnich, bez względu na inne cechy, które ma. Nierówność Markowa stanowi górną granicę dla procentu rozkładu, który jest powyżej określonej wartości.

Nierówność Markowa mówi, że dla dodatniej zmiennej losowej X i wszelkie pozytywne prawdziwy numerza, prawdopodobieństwo, że X jest większa niż lub równa za jest mniejsza lub równa wartość oczekiwana z X podzielony przez za.

Powyższy opis można przedstawić bardziej zwięźle, stosując notację matematyczną. W symbolach zapisujemy nierówność Markowa jako:

P. (X ≥ za) ≤ mi( X) /za

Aby zilustrować nierówność, załóżmy, że mamy rozkład o wartościach nieujemnych (takich jak a rozkład chi-kwadrat). Jeśli ta losowa zmienna X ma wartość oczekiwaną 3, przyjrzymy się prawdopodobieństwom dla kilku wartości za.

• Dla za = 10 Nierówność Markowa tak mówi P. (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Istnieje więc 30% prawdopodobieństwo, że X jest większy niż 10.
• Dla za = 30 Nierówność Markowa tak mówi P. (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Istnieje więc 10% prawdopodobieństwo, że X jest większy niż 30.
• Dla za = 3 Nierówność Markowa tak mówi P. (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Zdarzenia o prawdopodobieństwie 1 = 100% są pewne. Oznacza to, że pewna wartość zmiennej losowej jest większa lub równa 3. Nie powinno to być zbyt zaskakujące. Jeśli wszystkie wartości X były mniejsze niż 3, wówczas oczekiwana wartość również byłaby mniejsza niż 3.
• Jako wartość za zwiększa iloraz mi(X) /za będzie coraz mniejszy. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest bardzo małe X jest bardzo, bardzo duży. Ponownie, przy oczekiwanej wartości 3, nie spodziewalibyśmy się dużego rozkładu przy wartościach, które byłyby bardzo duże.

Jeśli wiemy więcej o dystrybucji, z którą współpracujemy, zazwyczaj możemy poprawić nierówność Markowa. Wartością użycia jest to, że zachowuje się dla każdego rozkładu o wartościach nieujemnych.

Na przykład, jeśli znamy średnią wysokość uczniów w szkole podstawowej. Nierówność Markowa mówi nam, że nie więcej niż jedna szósta uczniów może mieć wzrost większy niż sześciokrotność średniej wysokości.

Innym ważnym zastosowaniem nierówności Markowa jest udowodnienie Nierówność Czebyszewa. Fakt ten powoduje, że nazwa „nierówność Czebyszewa” jest stosowana również do nierówności Markowa. Zamieszanie nazewnictwa nierówności wynika również z okoliczności historycznych. Andrey Markov był uczniem Pafnuty Czebyszewa. Praca Czebyszewa zawiera nierówność przypisywaną Markowowi.