Prawdopodobieństwo losowego wybrania liczby pierwszej

Teoria liczb jest gałęzią matematyka dotyczy to zbioru liczb całkowitych. Ograniczamy się w ten sposób, ponieważ nie badamy bezpośrednio innych liczb, takich jak irracjonalne. Jednak inne rodzaje liczby rzeczywiste są używane. Oprócz tego przedmiot prawdopodobieństwa ma wiele powiązań i przecięć z teorią liczb. Jedno z tych połączeń ma związek z dystrybucją liczby pierwsze. Dokładniej możemy zapytać, jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba całkowita od 1 do x jest liczbą pierwszą?

Jak w przypadku każdego problemu matematycznego, ważne jest zrozumienie nie tylko przyjętych założeń, ale także definicji wszystkich kluczowych terminów w tym problemie. W przypadku tego problemu rozważamy liczby całkowite dodatnie, czyli liczby całkowite 1, 2, 3,. .. do pewnej liczby x. Losowo wybieramy jedną z tych liczb, co oznacza, że ​​wszystkie x z nich jest równie prawdopodobne, że zostaną wybrani.

Staramy się ustalić prawdopodobieństwo wyboru liczby pierwszej. Dlatego musimy zrozumieć definicję liczby pierwszej. Liczba pierwsza jest dodatnią liczbą całkowitą, która ma dokładnie dwa czynniki. Oznacza to, że jedynymi dzielnikami liczb pierwszych są jeden i sama liczba. Zatem 2,3 i 5 są liczbami pierwszymi, ale 4, 8 i 12 nie są liczbami pierwszymi. Zauważmy, że ponieważ liczba pierwsza musi składać się z dwóch czynników, liczba 1 to

Rozwiązanie tego problemu jest proste w przypadku małych liczb x. Wszystko, co musimy zrobić, to po prostu policzyć liczby liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe x. Dzielimy liczbę liczb pierwszych mniejszą lub równą x według numeru x.

Na przykład, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana od 1 do 10, musimy podzielić liczbę liczb pierwszych od 1 do 10 przez 10. Liczby 2, 3, 5, 7 są liczbą pierwszą, więc prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana, wynosi 4/10 = 40%.

Prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana od 1 do 50, można znaleźć w podobny sposób. Liczby pierwsze mniejsze niż 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47. Jest 15 liczb pierwszych mniejszych lub równych 50. Zatem prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana losowo, wynosi 15/50 = 30%.

Proces ten można przeprowadzić po prostu zliczając liczby pierwsze, o ile mamy listę liczb pierwszych. Na przykład jest 25 liczb pierwszych mniejszych lub równych 100. (Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba od 1 do 100 jest liczbą pierwszą, wynosi 25/100 = 25%.) Jednakże, jeśli nie mamy listy liczb pierwszych, obliczanie zbioru liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe danej, może być zniechęcające obliczeniowo numer x.

Jeśli nie masz liczby liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe x, istnieje alternatywny sposób rozwiązania tego problemu. Rozwiązanie obejmuje wynik matematyczny znany jako twierdzenie o liczbie pierwszej. Jest to stwierdzenie o ogólnym rozkładzie liczb pierwszych i może być wykorzystane do przybliżenia prawdopodobieństwa, które próbujemy ustalić.

Twierdzenie o liczbie pierwszej stwierdza, że ​​jest ich w przybliżeniu x / ln (x) liczby pierwsze, które są mniejsze lub równe x. Tutaj ln (x) oznacza logarytm naturalny z xlub innymi słowy logarytm z podstawą numer mi. Jako wartość x zwiększa przybliżenie poprawia się w tym sensie, że widzimy spadek błędu względnego między liczbą liczb pierwszych mniejszy niż x i wyrażenie x / ln (x).

Możemy wykorzystać wynik twierdzenia o liczbie pierwszej, aby rozwiązać problem, który próbujemy rozwiązać. Wiemy z twierdzenia o liczbie pierwszej, że istnieje ono w przybliżeniu x / ln (x) liczby pierwsze, które są mniejsze lub równe x. Ponadto jest ich łącznie x dodatnie liczby całkowite mniejsze lub równe x. Dlatego prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba z tego zakresu jest liczbą pierwszą, wynosi (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Możemy teraz wykorzystać ten wynik do przybliżenia prawdopodobieństwa losowego wybrania liczby pierwszej z pierwszej miliard liczby całkowite. Obliczamy logarytm naturalny miliarda i widzimy, że ln (1 000 000 000) wynosi około 20,7, a 1 / ln (1 000 000 000) wynosi około 0,0483. Mamy zatem około 4,83% prawdopodobieństwa losowego wybrania liczby pierwszej z pierwszych miliardów liczb całkowitych.