Co to jest Kurtosis w statystyce?

Rozkłady danych i rozkłady prawdopodobieństwa nie mają tego samego kształtu. Niektóre są asymetryczne i wypaczony w lewo lub w prawo. Inne dystrybucje to bimodalny i mają dwa szczyty. Inną cechą do rozważenia przy mówieniu o rozkładzie jest kształt ogonów rozkładu po lewej i po prawej stronie. Kurtoza jest miarą grubości lub ciężkości ogonów rozkładu. Kurtoza rozkładu należy do jednej z trzech kategorii klasyfikacji:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Rozważymy kolejno każdą z tych klasyfikacji. Nasze badanie tych kategorii nie będzie tak precyzyjne, jak mogłoby być, gdybyśmy zastosowali techniczną matematyczną definicję kurtozy.

Kurtosis jest zazwyczaj mierzony w odniesieniu do normalna dystrybucja. Rozkład, który ma ogony ukształtowane w przybliżeniu w taki sam sposób jak każdy normalny rozkład, nie tylko standardowy rozkład normalny, mówi się, że jest mezokurtyczny. Kurtoza rozkładu mezokurtycznego nie jest ani wysoka, ani niska, raczej uważa się ją za punkt odniesienia dla dwóch pozostałych klasyfikacji.

Oprócz normalne rozkłady, rozkłady dwumianowe, dla których p jest bliskie 1/2 są uważane za mezokurtyczne.

Dystrybucja leptokurtyczna to taka, która ma kurtozę większą niż dystrybucja mezokurtyczna. Rozkłady leptokurtyczne są czasami identyfikowane przez szczyty, które są cienkie i wysokie. Ogony tych rozkładów, zarówno po prawej, jak i po lewej, są grube i ciężkie. Dystrybucje leptokurtyczne są nazywane przedrostkiem „lepto”, co oznacza „chudy”.

Istnieje wiele przykładów rozkładów leptokurtycznych. Jednym z najbardziej znanych rozkładów leptokurtycznych jest Rozkład t studenta.

Trzecia klasyfikacja kurtozy jest platykurtyczna. Rozkłady platykurtyczne to te, które mają smukłe ogony. Wiele razy mają pik mniejszy niż rozkład mezokurtyczny. Nazwy tego typu dystrybucji pochodzą od znaczenia przedrostka „płytka” oznaczającego „szeroki”.

Wszystko mundur dystrybucje są platykurtyczne. Ponadto, oddzielny rozkład prawdopodobieństwa z jednego rzutu monetą jest platykurtyczny.

Te klasyfikacje kurtozy są nadal nieco subiektywne i jakościowe. Chociaż możemy zobaczyć, że rozkład ma grubsze ogony niż rozkład normalny, co zrobić, jeśli nie mamy wykresu rozkładu normalnego do porównania? Co jeśli chcemy powiedzieć, że jedna dystrybucja jest bardziej leptokurtyczna niż inna?

Aby odpowiedzieć na tego rodzaju pytania, potrzebujemy nie tylko jakościowego opisu kurtozy, ale również miary ilościowej. Zastosowana formuła to μ₄/σ⁴ gdzie μ₄ jest czwarty Pearsona chwila o średniej a sigma jest odchyleniem standardowym.

Teraz, gdy mamy sposób na obliczenie kurtozy, możemy porównać uzyskane wartości, a nie kształty. Stwierdzono, że rozkład normalny ma kurtozę wynoszącą trzy. To staje się teraz naszą podstawą do dystrybucji mezokurtycznych. Rozkład z kurtozą większą niż trzy jest leptokurtyczny, a rozkład z kurtozą mniejszą niż trzy jest platykurtyczny.

Ponieważ traktujemy rozkład mezokurtyczny jako linię bazową dla naszych innych rozkładów, możemy odjąć trzy z naszego standardowego obliczenia dla kurtozy. Wzór μ₄/σ⁴ - 3 to wzór na nadmierną kurtozę. Możemy następnie sklasyfikować rozkład na podstawie jego nadmiaru kurtozy:

• Rozkłady mezokurtyczne mają nadmiar kurtozy równy zero.
• Rozkłady platykurtyczne mają ujemną kurtozę.
• Rozkłady leptokurtyczne mają dodatnią kurtozę.

Słowo „kurtoza” wydaje się dziwne w pierwszym lub drugim czytaniu. To naprawdę ma sens, ale musimy znać język grecki, aby to rozpoznać. Kurtosis wywodzi się z transliteracji greckiego słowa kurtos. To greckie słowo ma znaczenie „łukowate” lub „wypukłe”, co czyni go trafnym opisem pojęcia znanego jako kurtoza.