Prawdopodobieństwo zjednoczenia 3 lub więcej zestawów

Kiedy są dwa zdarzenia wzajemnie się wykluczające, prawdopodobieństwo ich unia można obliczyć za pomocą reguła dodawania. Wiemy, że za rzucenie kostką, rzucenie liczbą większą niż cztery lub liczbą mniejszą niż trzy są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi, bez niczego wspólnego. Aby znaleźć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, po prostu dodajemy prawdopodobieństwo, że wyrzucimy liczbę większą niż cztery, do prawdopodobieństwa, że ​​wyrzucimy liczbę mniejszą niż trzy. W symbolach mamy następujące, gdzie stolica P. oznacza „prawdopodobieństwo”:

P.(więcej niż cztery lub mniej niż trzy) = P.(więcej niż cztery) + P.(mniej niż trzy) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Jeśli wydarzenia są nie wykluczając się wzajemnie, nie dodajemy po prostu prawdopodobieństw zdarzeń razem, ale musimy odjąć prawdopodobieństwo skrzyżowanie wydarzeń. Biorąc pod uwagę wydarzenia ZA i b:

P.(ZA U b) = P.(ZA) + P.(b) - P.(ZA ∩ b).

Tutaj uwzględniamy możliwość podwójnego liczenia tych elementów, które są w obu ZA i bi dlatego odejmujemy prawdopodobieństwo przecięcia.

Powstaje z tego pytanie: „Po co przestać z dwoma zestawami? Jakie jest prawdopodobieństwo połączenia więcej niż dwóch zbiorów? ”

Rozszerzymy powyższe pomysły na sytuację, w której mamy trzy zestawy, które oznaczymy ZA, b, i do. Nie zakładamy niczego więcej, więc istnieje możliwość, że zbiory mają niepuste przecięcie. Celem będzie obliczenie prawdopodobieństwo związku tych trzech zbiorów, lub P. (ZA U b U do).

Powyższa dyskusja dla dwóch zestawów nadal obowiązuje. Możemy zsumować prawdopodobieństwa poszczególnych zbiorów ZA, b, i do, ale robiąc to, policzyliśmy podwójnie niektóre elementy.

Elementy na przecięciu ZA i b zostały podwójnie policzone jak poprzednio, ale teraz istnieją inne elementy, które potencjalnie zostały policzone dwukrotnie. Elementy na przecięciu ZA i do i na skrzyżowaniu b i do zostały również policzone dwukrotnie. Więc… prawdopodobieństwa z tych skrzyżowań należy również odjąć.

Ale czy odjęliśmy za dużo? Jest coś nowego do rozważenia, że ​​nie musieliśmy się martwić, kiedy były tylko dwa zestawy. Tak jak dowolne dwa zbiory mogą mieć przecięcie, wszystkie trzy zbiory mogą mieć także przecięcie. Próbując upewnić się, że niczego nie policzyliśmy, nie policzyliśmy wszystkich elementów, które pojawiają się we wszystkich trzech zestawach. Prawdopodobieństwo przecięcia wszystkich trzech zbiorów musi zostać ponownie dodane.

Oto wzór wyprowadzony z powyższej dyskusji:

P. (ZA U b U do) = P.(ZA) + P.(b) + P.(do) - P.(ZA ∩ b) - P.(ZA ∩ do) - P.(b ∩ do) + P.(ZA ∩ b ∩ do)

Aby zobaczyć wzór na prawdopodobieństwo połączenia trzech zestawów, załóżmy, że gramy w grę planszową, która obejmuje rzucając dwie kostki. Ze względu na zasady gry, aby wygrać, musimy zdobyć co najmniej jedną kostkę, która ma dwa, trzy lub cztery. Jakie jest tego prawdopodobieństwo? Zauważamy, że próbujemy obliczyć prawdopodobieństwo połączenia trzech zdarzeń: wyrzucenie co najmniej jednego dwa, wyrzucenie co najmniej jednego trzy, wyrzucenie co najmniej jednego cztery. Możemy więc użyć powyższej formuły z następującymi prawdopodobieństwami:

• Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch wynosi 11/36. Licznik tutaj wynika z faktu, że istnieje sześć wyników, w których pierwsza kość to dwa, sześć, w których druga kość to dwa, i jeden wynik, w którym obie kości są dwójkami. To daje nam 6 + 6 - 1 = 11.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia trójki wynosi 11/36 z tego samego powodu, co powyżej.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia czterech wynosi 11/36, z tego samego powodu, co powyżej.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch i trzech wynosi 2/36. Tutaj możemy po prostu wymienić możliwości, te dwa mogą być pierwsze lub drugie.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch i czterech wynosi 2/36, z tego samego powodu, dla którego prawdopodobieństwo dwóch i trzech wynosi 2/36.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch, trzech i czterech wynosi 0, ponieważ rzucamy tylko dwiema kośćmi i nie ma możliwości uzyskania trzech liczb za pomocą dwóch kości.

Używamy teraz formuły i widzimy, że prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej dwóch, trzech lub czterech wynosi

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Powód, dla którego formuła prawdopodobieństwa zjednoczenia czterech zbiorów ma swoją postać, jest podobna do rozumowania formuły dla trzech zbiorów. Wraz ze wzrostem liczby zestawów rośnie także liczba par, potrójek itd. W przypadku czterech zestawów istnieje sześć par skrzyżowań, które należy odjąć, cztery potrójne przecięcia, aby je dodać, a teraz poczwórne przecięcie, które należy odjąć. Biorąc pod uwagę cztery zestawy ZA, b, do i re, wzór na połączenie tych zbiorów jest następujący:

P. (ZA U b U do U re) = P.(ZA) + P.(b) + P.(do) +P.(re) - P.(ZA ∩ b) - P.(ZA ∩ do) - P.(ZA ∩ re)- P.(b ∩ do) - P.(b ∩ re) - P.(do ∩ re) + P.(ZA ∩ b ∩ do) + P.(ZA ∩ b ∩ re) + P.(ZA ∩ do ∩ re) + P.(b ∩ do ∩ re) - P.(ZA ∩ b ∩ do ∩ re).

Moglibyśmy pisać formuły (które wyglądałyby nawet bardziej przerażająco niż powyższy) dla prawdopodobieństwa połączenia więcej niż czterech zestawów, ale po przestudiowaniu powyższych wzorów powinniśmy zauważyć pewne wzorce. Te wzorce obowiązują do obliczania związków więcej niż czterech zestawów. Prawdopodobieństwo zjednoczenia dowolnej liczby zestawów można znaleźć w następujący sposób:

1. Dodaj prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń.
2. Odejmij prawdopodobieństwa skrzyżowań każdej pary wydarzeń.
3. Dodaj prawdopodobieństwo przecięcia każdego zestawu trzech zdarzeń.
4. Odejmij prawdopodobieństwo przecięcia każdego zestawu czterech zdarzeń.
5. Kontynuuj ten proces, aż ostatnie prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem przecięcia całkowitej liczby zestawów, od których zaczęliśmy.