Jakie są aksjomaty prawdopodobieństwa?

Jedną strategią w matematyce jest zacząć od kilku instrukcji, a następnie zbudować więcej matematyki na podstawie tych instrukcji. Stwierdzenia początkowe są znane jako aksjomaty. Aksjomat jest zazwyczaj czymś oczywistym matematycznie. Ze stosunkowo krótkiej listy aksjomatów logika dedukcyjna służy do udowodnienia innych twierdzeń, zwanych twierdzeniami lub twierdzeniami.

Dziedzina matematyki zwana prawdopodobieństwem nie różni się. Prawdopodobieństwo można zmniejszyć do trzech aksjomatów. Po raz pierwszy dokonał tego matematyk Andrei Kołmogorow. Garść aksjomatów, które leżą u podstaw prawdopodobieństwa, można wykorzystać do wywnioskowania wszystkiego sortuje wyników. Ale jakie są te aksjomaty prawdopodobieństwa?

Aby zrozumieć aksjomaty prawdopodobieństwa, musimy najpierw omówić kilka podstawowych definicji. Przypuszczamy, że mamy zestaw wyników zwanych przestrzenią próbki S. Tę próbną przestrzeń można uznać za uniwersalny zestaw dla sytuacji, którą badamy. Przykładowa przestrzeń składa się z podzbiorów zwanych zdarzeniami mi₁, mi₂,..., mi_n.

Zakładamy również, że istnieje sposób przypisania prawdopodobieństwa każdemu zdarzeniu mi. Można to uznać za funkcję, która ma zestaw danych wejściowych oraz prawdziwy numer jako wynik. Prawdopodobieństwo zdarzeniemi jest oznaczony przez P.(mi).

Pierwszym aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemną liczbą rzeczywistą. Oznacza to, że najmniejszym możliwym prawdopodobieństwem jest zero i że nie może być ono nieskończone. Zbiór liczb, których możemy użyć, to liczby rzeczywiste. Odnosi się to zarówno do liczb wymiernych, zwanych również ułamkami, jak i liczb niewymiernych, których nie można zapisać jako ułamki.

Należy zauważyć, że ten aksjomat nie mówi nic o tym, jak duże może być prawdopodobieństwo zdarzenia. Aksjomat eliminuje możliwość ujemnych prawdopodobieństw. Odzwierciedla pogląd, że najmniejsze prawdopodobieństwo, zarezerwowane na zdarzenia niemożliwe, wynosi zero.

Drugi aksjomat prawdopodobieństwa jest taki, że prawdopodobieństwo całej przestrzeni próbki wynosi jeden. Symbolicznie piszemy P.(S.) = 1. W tym aksjomacie jest ukryte pojęcie, że przestrzeń próbki jest wszystkim, co jest możliwe dla naszego eksperymentu prawdopodobieństwa i że nie ma zdarzeń poza przestrzenią próbki.

Sam ten aksjomat nie ustanawia górnej granicy prawdopodobieństwa zdarzeń, które nie są całą przestrzenią próbki. Odzwierciedla to, że coś z absolutną pewnością ma prawdopodobieństwo 100%.

Trzeci aksjomat prawdopodobieństwa dotyczy zdarzeń wykluczających się wzajemnie. Gdyby mi₁ i mi₂ są wzajemnie się wykluczające, co oznacza, że ​​mają puste skrzyżowanie, a my używamy U do oznaczenia związku P.(mi₁ U mi₂ ) = P.(mi₁) + P.(mi₂).

Aksjomat tak naprawdę obejmuje sytuację kilkoma (nawet licznymi nieskończonymi) zdarzeniami, z których każda para wyklucza się wzajemnie. Tak długo, jak to nastąpi, prawdopodobieństwo związku zdarzeń jest taki sam jak suma prawdopodobieństw:

P.(mi₁ U mi₂ U... U mi_n ) = P.(mi₁) + P.(mi₂) +... + mi_n

Chociaż ten trzeci aksjomat może nie wydawać się tak przydatny, zobaczymy, że w połączeniu z pozostałymi dwoma aksjomatami jest rzeczywiście dość potężny.

Trzy aksjomaty wyznaczają górną granicę prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia. Oznaczamy dopełnienie wydarzenia mi przez mi^do. Z teorii mnogości mi i mi^do mają puste skrzyżowanie i wzajemnie się wykluczają. Ponadto mi U mi^do = S., cała przestrzeń próbki.

Te fakty w połączeniu z aksjomatami dają nam:

1 = P.(S.) = P.(mi U mi^do) = P.(mi) + P.(mi^do) .

Przekształcamy powyższe równanie i widzimy to P.(mi) = 1 - P.(mi^do). Ponieważ wiemy, że prawdopodobieństwo musi być nieujemne, teraz mamy górną granicę prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia wynoszącą 1.

Ponownie zmieniając formułę, mamy P.(mi^do) = 1 - P.(mi). Możemy również wywnioskować z tej formuły, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi jeden minus prawdopodobieństwo, że ono wystąpi.

Powyższe równanie zapewnia nam również sposób obliczenia prawdopodobieństwa niemożliwego zdarzenia, oznaczonego pustym zbiorem. Aby to zobaczyć, przypomnij sobie, że pusty zestaw jest w tym przypadku uzupełnieniem zestawu uniwersalnego S.^do. Ponieważ 1 = P.(S.) + P.(S.^do) = 1 + P.(S.^do), według algebry mamy P.(S.^do) = 0.

Powyższe to tylko kilka przykładów właściwości, które można udowodnić bezpośrednio z aksjomatów. Prawdopodobieństwo jest o wiele więcej wyników. Ale wszystkie te twierdzenia są logicznymi rozszerzeniami trzech aksjomatów prawdopodobieństwa.