Prosty przykład warunkowy prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo, że karta wyciągnięta ze standardowej talii kart jest królem. Na 52 karty jest w sumie czterech królów, więc prawdopodobieństwo wynosi po prostu 4/52. Z tym obliczeniem związane jest następujące pytanie: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że narysujemy króla, biorąc pod uwagę to wyciągnęliśmy już kartę z talii i jest to as? ”. Rozważamy tutaj zawartość talii karty Wciąż jest czterech królów, ale teraz w talii jest tylko 51 kart. Prawdopodobieństwo wylosowania króla, biorąc pod uwagę, że as został już wylosowany, wynosi 4/51.
Warunkowe prawdopodobieństwo definiuje się jako prawdopodobieństwo zdarzenia, biorąc pod uwagę, że miało miejsce inne zdarzenie. Jeśli nazwiemy te wydarzenia ZA i b, wtedy możemy mówić o prawdopodobieństwie ZA dany b. Możemy również odnieść się do prawdopodobieństwa ZA zależny b.
Notacja
Zapis prawdopodobieństwa warunkowego różni się w zależności od podręcznika. We wszystkich notacjach wskazanie jest takie, że prawdopodobieństwo, do którego się odnosimy, zależy od innego zdarzenia. Jeden z najczęstszych zapisów prawdopodobieństwa
ZA dany b jest P (A | B). Inną używaną notacją jest P.b(A).Formuła
Istnieje wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, które łączy to z prawdopodobieństwem ZA i b:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
Zasadniczo to, co mówi ta formuła, polega na obliczeniu warunkowego prawdopodobieństwa zdarzenia ZA biorąc pod uwagę wydarzenie b, zmieniamy naszą przestrzeń próbki, aby składała się tylko z zestawu b. Robiąc to, nie bierzemy pod uwagę całego wydarzenia ZA, ale tylko część ZA to jest również zawarte w b. Zestaw, który właśnie opisaliśmy, można określić bardziej znanym terminem jako skrzyżowanie z ZA i b.
Możemy użyć algebra wyrazić powyższą formułę w inny sposób:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
Przykład
Ponownie przejrzymy przykład, od którego zaczęliśmy, w świetle tych informacji. Chcemy poznać prawdopodobieństwo wylosowania króla, biorąc pod uwagę, że as został już wylosowany. Tak więc wydarzenie ZA to, że narysujemy króla. Zdarzenie b polega na tym, że losujemy asa.
Prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń i losowania asa, a następnie króla odpowiada P (A ∩ B). Wartość tego prawdopodobieństwa wynosi 12/2652. Prawdopodobieństwo zdarzenia b, że losujemy asa 4/52. Dlatego używamy wzoru prawdopodobieństwa warunkowego i widzimy, że prawdopodobieństwo wylosowania króla danego niż asa zostało wylosowane to (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Inny przykład
W innym przykładzie przyjrzymy się eksperymentowi prawdopodobieństwa, w którym my Rzuć dwie kostki. Pytanie, które moglibyśmy zadać, brzmi: „Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzuciliśmy trójkę, biorąc pod uwagę, że wyrzuciliśmy sumę mniejszą niż sześć?”
Oto wydarzenie ZA jest to, że wyrzuciliśmy trzy, i wydarzenie b jest to, że wyrzuciliśmy sumę mniejszą niż sześć. Istnieje w sumie 36 sposobów na rzucenie dwiema kostkami. Z tych 36 sposobów możemy rzucić sumę mniejszą niż sześć na dziesięć sposobów:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Niezależne wydarzenia
Istnieje kilka przypadków, w których prawdopodobieństwo warunkowe ZA biorąc pod uwagę wydarzenie b jest równe prawdopodobieństwu ZA. W tej sytuacji mówimy, że wydarzenia ZA i b są od siebie niezależni. Powyższa formuła staje się:
P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),
i odzyskujemy formułę, że dla niezależnych zdarzeń prawdopodobieństwo obu ZA i b można znaleźć poprzez pomnożenie prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń:
P (A ∩ B) = P (B) P (A)
Gdy dwa zdarzenia są niezależne, oznacza to, że jedno zdarzenie nie ma wpływu na drugie. Przerzucanie jednej monety, a następnie drugiej, jest przykładem niezależnych wydarzeń. Odrzucenie jednej monety nie ma wpływu na drugą.
Przestrogi
Bądź bardzo ostrożny, aby określić, które zdarzenie zależy od drugiego. Ogólnie P (A | B) nie jest równy P (B | A). Takie jest prawdopodobieństwo ZA biorąc pod uwagę wydarzenie b nie jest tym samym, co prawdopodobieństwo b biorąc pod uwagę wydarzenie ZA.
W powyższym przykładzie widzieliśmy, że przy rzucie dwiema kostkami prawdopodobieństwo rzutu trzema, biorąc pod uwagę, że wyrzuciliśmy sumę mniejszą niż sześć, wynosi 4/10. Z drugiej strony, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy mniejszej niż sześć, biorąc pod uwagę, że wyrzuciliśmy trzy? Prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy i sumy mniejszej niż sześć wynosi 4/36. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej trzy wynosi 11/36. Zatem prawdopodobieństwo warunkowe w tym przypadku wynosi (4/36) / (11/36) = 4/11.