Co to jest paradoks petersburski?

Jesteś na ulicach Sankt Petersburga w Rosji, a starzec proponuje następującą grę. Rzuca monetą (i pożyczy jeden z twoich, jeśli nie ufasz, że jest sprawiedliwy). Jeśli wyląduje, to przegrywasz i gra się kończy. Jeśli moneta wyląduje jeden na jednego, wygrywasz jednego rubla i gra jest kontynuowana. Moneta jest ponownie rzucana. Jeśli to reszka, gra się kończy. Jeśli to głowy, wygrywasz dodatkowe dwa ruble. Gra trwa w ten sposób. Dla każdej kolejnej głowy podwajamy nasze wygrane z poprzedniej rundy, ale na znak pierwszego ogona gra jest skończona.

Ile zapłaciłbyś za grę? Kiedy rozważamy wartość oczekiwana w tej grze, powinieneś skorzystać z okazji, bez względu na koszt gry. Jednak z powyższego opisu prawdopodobnie nie byłbyś skłonny zapłacić dużo. W końcu istnieje 50% prawdopodobieństwo, że nic nie wygrasz. Jest to tak zwany paradoks petersburski, nazwany na podstawie publikacji Daniela Bernoulli w 1738 roku Komentarze Cesarskiej Akademii Nauk w Sankt Petersburgu.

Zacznijmy od obliczeń prawdopodobieństwa związane z tą grą. Prawdopodobieństwo, że rzetelna moneta wyląduje, wynosi 1/2. Każde rzucenie monetą jest niezależnym zdarzeniem, dlatego mnożymy prawdopodobieństwa za pomocą a schemat drzewa.

• Prawdopodobieństwo dwóch głów z rzędu wynosi (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Prawdopodobieństwo trzech głów z rzędu wynosi (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Aby wyrazić prawdopodobieństwo n głowice z rzędu, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, której używamy wykładników do napisania 1/2ⁿ.

Teraz przejdźmy dalej i sprawdźmy, czy możemy uogólnić, jakie byłyby wygrane w każdej rundzie.

• Jeśli masz głowę w pierwszej rundzie, wygrywasz jednego rubla w tej rundzie.
• Jeśli w drugiej rundzie jest głowa, wygrywasz w tej rundzie dwa ruble.
• Jeśli w trzeciej rundzie jest głowa, wygrywasz cztery ruble w tej rundzie.
• Jeśli masz szczęście, że udało ci się dotrzeć do n^th w rundzie, wtedy wygrasz 2^n-1 ruble w tej rundzie.

Oczekiwana wartość gry mówi nam, jaka byłaby średnia wygrana, gdybyś grał w nią wiele, wiele razy. Aby obliczyć oczekiwaną wartość, mnożymy wartość wygranych z każdej rundy przez prawdopodobieństwo przejścia do tej rundy, a następnie dodajemy wszystkie te produkty razem.

• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/2, a wygrana 1 rubel: 1/2 x 1 = 1/2
• Od drugiej rundy masz prawdopodobieństwo 1/4, a wygrana 2 ruble: 1/4 x 2 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/8, a wygrana 4 ruble: 1/8 x 4 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/16, a wygrana 8 rubli: 1/16 x 8 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/2ⁿ i wygrane 2^n-1 ruble: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Wartość z każdej rundy wynosi 1/2 i dodaje wyniki z pierwszej n zaokrąglenie razem daje nam oczekiwaną wartość n/ 2 ruble. Od n może być dowolną dodatnią liczbą całkowitą, oczekiwana wartość jest nieograniczona.

Więc co powinieneś zapłacić, aby zagrać? Rubel, tysiąc rubli, a nawet… miliard wszystkie ruble na dłuższą metę byłyby niższe niż oczekiwana wartość. Pomimo powyższych obliczeń obiecujących niezliczone bogactwa, wszyscy nadal nie chcielibyśmy płacić bardzo dużo za grę.

Istnieje wiele sposobów rozwiązania paradoksu. Jednym z prostszych sposobów jest to, że nikt nie oferuje gry takiej jak ta opisana powyżej. Nikt nie ma nieskończonych zasobów, których potrzebowałby zapłacić komuś, kto nadal przewracał głowy.

Innym sposobem rozwiązania paradoksu jest wskazanie, jak mało prawdopodobne jest uzyskanie czegoś takiego jak 20 głów z rzędu. The szansa tego, co się dzieje, jest lepsze niż wygrywanie większości stanów loterie. Ludzie rutynowo grają w takie loterie za pięć dolarów lub mniej. Cena gry w Petersburgu prawdopodobnie nie powinna przekraczać kilku dolarów.

Jeśli mężczyzna weźmie Petersburg mówi, że zagranie w tę grę będzie kosztować więcej niż kilka rubli, dlatego grzecznie odmówisz i odejdziesz. Ruble i tak nie są warte wiele.