Momenty w statystykach matematycznych obejmują podstawowe obliczenia. Obliczeń tych można użyć do znalezienia średniej, wariancji i skośności rozkładu prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że mamy zestaw danych o łącznej wartości noddzielny zwrotnica. Jedno ważne obliczenie, które w rzeczywistości jest kilkoma liczbami, nazywa się sten moment. The smoment zbioru danych z wartościami x1, x2, x3,..., xn wynika ze wzoru:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Korzystanie z tej formuły wymaga od nas zachowania ostrożności przy wykonywaniu zleceń. Najpierw musimy wykonać wykładniki, dodać, a następnie podzielić tę sumę przez n całkowita liczba wartości danych.
Uwaga dotycząca terminu „moment”
Termin za chwilę zostało zaczerpnięte z fizyki. W fizyce moment układu mas punktowych oblicza się za pomocą wzoru identycznego do powyższego, a wzór ten stosuje się do znajdowania środka masy punktów. W statystykach wartości nie są już masami, ale jak zobaczymy, momenty w statystykach wciąż mierzą coś względem środka wartości.
Pierwsza chwila
Po raz pierwszy ustawiliśmy s = 1. Formuła na pierwszy moment jest więc następująca:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Jest to identyczne ze wzorem dla próbki oznaczać.
Pierwszy moment wartości 1, 3, 6, 10 to (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Druga chwila
Po raz drugi ustaliliśmy s = 2. Wzór na drugą chwilę to:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Drugi moment wartości 1, 3, 6, 10 to (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Trzeci moment
Po raz trzeci ustaliliśmy s = 3. Wzór na trzecią chwilę to:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Trzecim momentem wartości 1, 3, 6, 10 jest (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Wyższe momenty można obliczyć w podobny sposób. Po prostu wymień s w powyższym wzorze z liczbą oznaczającą pożądany moment.
Chwile o średniej
Pokrewnym pomysłem jest pomysł schwila o średniej. W tym obliczeniu wykonujemy następujące kroki:
- Najpierw obliczyć średnią wartości.
- Następnie odejmij tę średnią od każdej wartości.
- Następnie podnieś każdą z tych różnic do smoc
- Teraz dodaj razem liczby z kroku 3.
- Na koniec podziel tę sumę przez liczbę wartości, od których zaczęliśmy.
Wzór na schwila o średniej m wartości wartości x1, x2, x3,..., xn jest dany przez:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Pierwsza chwila o średniej
Pierwszy moment dotyczący średniej jest zawsze równy zero, bez względu na to, z jakim zestawem danych pracujemy. Można to zobaczyć w następujący sposób:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Drugi moment o średniej
Drugi moment dotyczący średniej uzyskuje się z powyższego wzoru przez ustawienies = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Ta formuła jest równoważna z tą dla wariancji próbki.
Weźmy na przykład zestaw 1, 3, 6, 10. Obliczyliśmy już średnią tego zestawu na 5. Odejmij to od każdej wartości danych, aby uzyskać różnice:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Podkreślamy każdą z tych wartości i dodajemy do siebie: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Na koniec podziel tę liczbę przez liczbę punktów danych: 46/4 = 11,5
Zastosowania momentów
Jak wspomniano powyżej, pierwszy moment to średnia, a drugi moment o średniej to próbka zmienność. Karl Pearson wprowadził zastosowanie trzeciej chwili o średniej w obliczeniach skośność i czwarty moment o średniej w obliczeniach kurtoza.