Oczekiwana wartość dla Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck to gra losowa. Trzy kości są walcowane, czasem w ramce drucianej. Ze względu na tę ramkę ta gra jest również nazywana klatką dla ptaków. Ta gra jest częściej spotykana w karnawałach niż w kasynach. Jednak ze względu na użycie losowych kości możemy użyć prawdopodobieństwa do analizy tej gry. Dokładniej możemy obliczyć oczekiwaną wartość tej gry.

Istnieje kilka rodzajów zakładów, na które można obstawiać. Rozważymy tylko zakład na jedną liczbę. Po tym zakładzie wybieramy po prostu konkretną liczbę od jednego do sześciu. Następnie rzucamy kostką. Rozważ możliwości. Wszystkie kości, dwie z nich, jedna z nich lub żadna, mogą pokazywać wybraną przez nas liczbę.

Załóżmy, że ta gra zapłaci następujące rzeczy:

• 3 USD, jeśli wszystkie trzy kości odpowiadają wybranej liczbie.
• 2 USD, jeśli dokładnie dwie kości odpowiadają wybranej liczbie.
• 1 $, jeśli dokładnie jedna z kostek pasuje do wybranej liczby.

Jeśli żadna z kości nie odpowiada wybranemu numerowi, musimy zapłacić 1 USD.

Jaka jest oczekiwana wartość tej gry? Innymi słowy, na dłuższą metę, ile średnio spodziewalibyśmy się wygrać lub przegrać, gdybyśmy wielokrotnie grali w tę grę?

Aby znaleźć oczekiwaną wartość tej gry, musimy określić cztery prawdopodobieństwa. Te prawdopodobieństwa odpowiadają czterem możliwym wynikom. Zauważamy, że każda kość jest niezależna od innych. Ze względu na tę niezależność stosujemy zasadę mnożenia. Pomoże nam to określić liczbę wyników.

Zakładamy również, że kości są uczciwe. Każde z sześciu boków każdej z trzech kości może zostać rzucone.

Istnieje 6 x 6 x 6 = 216 możliwych wyników z rzucenia tymi trzema kostkami. Ta liczba będzie mianownikiem wszystkich naszych prawdopodobieństw.

Istnieje jeden sposób dopasowania wszystkich trzech kości do wybranej liczby.

Istnieje pięć sposobów, aby jedna kość nie pasowała do naszej wybranej liczby. Oznacza to, że istnieje 5 x 5 x 5 = 125 sposobów, aby żadna z naszych kości nie pasowała do wybranej liczby.

Jeśli weźmiemy pod uwagę dokładnie dwie pasujące kości, mamy jedną kość, która nie pasuje.

• Istnieją 1 x 1 x 5 = 5 sposobów, aby pierwsze dwie kości pasowały do ​​naszej liczby, a trzecia była inna.
• Istnieje 1 x 5 x 1 = 5 sposobów na dopasowanie pierwszej i trzeciej kości, przy czym druga może być inna.
• Istnieje 5 x 1 x 1 = 5 sposobów, aby pierwsza kość różniła się, a druga i trzecia pasowały.

Oznacza to, że istnieje dokładnie 15 sposobów na dopasowanie dokładnie dwóch kości.

Obliczyliśmy teraz liczbę sposobów uzyskania wszystkich wyników oprócz jednego. Możliwe jest 216 rolek. Uwzględniliśmy 1 + 15 + 125 = 141 z nich. Oznacza to, że pozostało 216-141 = 75.

Zbieramy wszystkie powyższe informacje i widzimy:

• Prawdopodobieństwo, że nasz numer pasuje do wszystkich trzech kości wynosi 1/216.
• Prawdopodobieństwo, że nasz numer pasuje dokładnie do dwóch kości wynosi 15/216.
• Prawdopodobieństwo, że nasz numer pasuje dokładnie do jednej kości, wynosi 75/216.
• Prawdopodobieństwo, że nasz numer nie pasuje do żadnej z kości, wynosi 125/216.

Jesteśmy teraz gotowi do obliczenia wartość oczekiwana tej sytuacji. The wzór na wartość oczekiwaną wymaga od nas pomnożenia prawdopodobieństwa każdego zdarzenia przez zysk lub stratę netto w przypadku wystąpienia zdarzenia. Następnie dodajemy wszystkie te produkty razem.

Obliczenie wartości oczekiwanej jest następujące:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

To około 0,08 USD. Interpretacja jest taka, że ​​jeśli mielibyśmy wielokrotnie grać w tę grę, tracilibyśmy średnio 8 centów za każdym razem, gdy graliśmy.