Prawdopodobieństwo wyrzucenia Yahtzee

Yahtzee to gra w kości polegająca na połączeniu szansy i strategii. Gracz rozpoczyna swoją turę rzucając pięcioma kostkami. Po tym rzucie gracz może zdecydować o ponownym rzucie dowolną liczbą kości. Co najwyżej są trzy rzuty na każdą turę. Po tych trzech rzutach wynik kości jest zapisywany na karcie wyników. Ten arkusz wyników zawiera różne kategorie, takie jak pełen dom lub duży prosty. Każda z kategorii jest zadowolona z różnych kombinacji kości.

Najtrudniejszą kategorią do wypełnienia jest kategoria Yahtzee. Yahtzee występuje, gdy gracz rzuci pięć z tego samego numeru. Jak mało prawdopodobne jest Yahtzee? Jest to problem o wiele bardziej skomplikowany niż znalezienie prawdopodobieństwa dwa lub nawet trzy kości. Głównym powodem jest to, że istnieje wiele sposobów na uzyskanie pięciu pasujących kości podczas trzech rzutów.

Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia Yahtzee, stosując formułę kombinatoryki dla kombinacji i dzieląc problem na kilka wzajemnie się wykluczające skrzynie

Najłatwiejszym do rozważenia jest zdobycie Yahtzee natychmiast przy pierwszym rzucie. Najpierw przyjrzymy się prawdopodobieństwo wyrzucenia konkretnego Yahtzee złożonego z pięciu dwójek, a następnie z łatwością rozszerzyć to na prawdopodobieństwo każdego Yahtzee.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch wynosi 1/6, a wynik każdej kości jest niezależny od reszty. Zatem prawdopodobieństwo zrzucenia pięciu dwójek wynosi (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Prawdopodobieństwo wyrzucenia pięciu liczb dowolnego rodzaju również wynosi 1/7776. Ponieważ na kości jest w sumie sześć różnych liczb, powyższe prawdopodobieństwo pomnożymy przez 6.

Oznacza to, że prawdopodobieństwo Yahtzee przy pierwszym rzucie wynosi 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procent.

Jeśli wyrzucimy cokolwiek innego niż pięć z pierwszego rzutu, będziemy musieli przerzucić niektóre nasze kości, aby spróbować zdobyć Yahtzee. Załóżmy, że nasz pierwszy rzut ma cztery rodzaje. przerzucilibyśmy jedną kość, która nie pasuje, a następnie otrzymaliśmy Yahtzee przy drugim rzucie.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia łącznie pięciu dwójek w ten sposób jest następujące:

1. Przy pierwszym rzucie mamy cztery dwójki. Ponieważ istnieje prawdopodobieństwo 1/6 wyrzucenia dwóch i 5/6 nie wyrzucenia dwóch, mnożymy (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Dowolny z pięciu rzucone kostką mogą być nie-dwoje. Używamy naszego wzoru kombinacji dla C (5, 1) = 5, aby policzyć, ile sposobów możemy rzucić cztery dwójki i coś, co nie jest dwójką.
3. Mnożymy i widzimy, że prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie czterech dwójek podczas pierwszego rzutu wynosi 25/7776.
4. Przy drugim rzucie musimy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia jednego dwa. To jest 1/6. Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia Yahtzee dwóch w powyższy sposób wynosi (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Aby znaleźć prawdopodobieństwo rzutu dowolnym Yahtzee w ten sposób, należy pomnożyć powyższe prawdopodobieństwo przez 6, ponieważ na kostce jest sześć różnych liczb. Daje to prawdopodobieństwo 6 x 25/46656 = 0,32 procent.

Ale to nie jedyny sposób na rzucenie Yahtzee dwoma rolkami. Wszystkie poniższe prawdopodobieństwa występują w podobny sposób jak powyżej:

• Możemy rzucić trójką, a następnie dwiema kostkami, które pasują podczas drugiego rzutu. Prawdopodobieństwo tego wynosi 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procent.
• Możemy rzucić pasującą parą, a przy naszym drugim rzucie trzy pasujące kości. Prawdopodobieństwo tego wynosi 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procent.
• Możemy rzucić pięcioma różnymi kostkami, uratować jedną kostkę z pierwszego rzutu, a następnie rzucić cztery kostki pasujące do drugiego rzutu. Prawdopodobieństwo tego wynosi (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procent.

Powyższe przypadki wykluczają się wzajemnie. Oznacza to, że aby obliczyć prawdopodobieństwo rzucenia Yahtzee w dwa rzuty, sumujemy powyższe prawdopodobieństwa razem i mamy około 1,23 procent.

W przypadku najbardziej skomplikowanej sytuacji zbadamy teraz przypadek, w którym wykorzystujemy wszystkie trzy nasze rzuty, aby uzyskać Yahtzee. Możemy to zrobić na kilka sposobów i musimy uwzględnić je wszystkie.

Prawdopodobieństwa tych możliwości obliczono poniżej:

• Prawdopodobieństwo wyrzucenia karety, a następnie nic, a następnie dopasowania ostatniej kości w ostatnim rzucie wynosi 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia trójki, a następnie nic, a następnie dopasowania z prawidłową parą na ostatnim rzucie wynosi 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia pasującej pary, a następnie nic, a następnie dopasowania z odpowiednią trójką na trzecim rzucie wynosi 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 procent.
• Prawdopodobieństwo rzutu pojedynczą kostką, a następnie nic pasującego do tego, a następnie dopasowania z prawidłową czwórką przy trzecim rzucie wynosi (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia trójki, dopasowania do dodatkowej kości przy następnym rzucie, a następnie dopasowanie piątej kości w trzecim rzucie wynosi 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia pary, dopasowanie dodatkowej pary w następnym rzucie, a następnie dopasowanie piąta kostka na trzecim rzucie wynosi 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia pary, dopasowania dodatkowej kości w następnym rzucie, a następnie dopasowania ostatnie dwie kości w trzecim rzucie wynoszą 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 procent.
• Prawdopodobieństwo rzutu jedyną w swoim rodzaju, inną kostką, aby dopasować ją do drugiego rzutu, a następnie trójka w trzecim rzucie wynosi (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynego w swoim rodzaju, trójki pasującego do drugiego rzutu, a następnie dopasowania przy trzecim rzucie wynosi (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 procent.
• Prawdopodobieństwo wyrzucenia jednego rodzaju, pary pasującej do niego przy drugim rzucie, a następnie innej pary do dopasowania przy trzecim rzucie wynosi (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 procent.

Dodajemy wszystkie powyższe prawdopodobieństwa razem, aby określić prawdopodobieństwo rzucenia Yahtzee w trzy rzuty kostką. Prawdopodobieństwo to wynosi 3,43 procent.

Prawdopodobieństwo Yahtzee w jednym rzucie wynosi 0,08 procent, prawdopodobieństwo Yahtzee w dwóch rzutach wynosi 1,23 procent, a prawdopodobieństwo Yahtzee w trzech rzutach wynosi 3,43 procent. Ponieważ każdy z nich wyklucza się wzajemnie, sumujemy prawdopodobieństwa razem. Oznacza to, że prawdopodobieństwo uzyskania Yahtzee w danej turze wynosi około 4,74 procent. Aby spojrzeć na to z perspektywy, ponieważ 1/21 wynosi około 4,74 procent, sam przypadkiem gracz powinien spodziewać się Yahtzee raz na 21 tur. W praktyce może to potrwać dłużej, ponieważ początkowa para może zostać odrzucona, aby rzucić za coś innego, na przykład prosto.