Ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia. Pewne typy zdarzeń są prawdopodobnie nazywane niezależnymi. Kiedy mamy parę niezależnych zdarzeń, czasami możemy zapytać: „Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia obu tych zdarzeń?” W tej sytuacji możemy po prostu pomnożyć nasze dwa prawdopodobieństwa razem.
Zobaczymy, jak wykorzystać regułę mnożenia dla niezależnych zdarzeń. Po zapoznaniu się z podstawami zobaczymy szczegóły kilku obliczeń.
Zaczynamy od definicji niezależnych wydarzeń. W prawdopodobieństwo, dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wynik jednego zdarzenia nie wpływa na wynik drugiego zdarzenia.
Dobrym przykładem pary niezależnych wydarzeń jest rzucenie kostką, a następnie rzut monety. Liczba pokazana na kości nie ma wpływu na rzuconą monetę. Dlatego te dwa wydarzenia są niezależne.
Przykładem pary zdarzeń, które nie są niezależne, jest płeć każdego dziecka w zestawie bliźniaków. Jeśli bliźniacy są identyczni, to oboje będą płci męskiej lub oboje będą płci żeńskiej.
Reguła mnożenia dla zdarzeń niezależnych wiąże prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń z prawdopodobieństwem ich wystąpienia. Aby skorzystać z reguły, musimy mieć prawdopodobieństwo każdego z niezależnych zdarzeń. Biorąc pod uwagę te zdarzenia, reguła mnożenia określa prawdopodobieństwo wystąpienia obu zdarzeń poprzez pomnożenie prawdopodobieństwa każdego zdarzenia.
Oznacz wydarzenia ZA i b i prawdopodobieństwa każdego przez ROCZNIE) i P (B). Gdyby ZA i b są niezależnymi wydarzeniami, a następnie:
Niektóre wersje tej formuły używają jeszcze większej liczby symboli. Zamiast słów „i” możemy zamiast tego użyć symbolu przecięcia: ∩. Czasami ta formuła jest używana jako definicja niezależnych zdarzeń. Wydarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy ROCZNIE i B) = P (A) x P (B).
Zobaczymy, jak korzystać z reguły mnożenia, patrząc na kilka przykładów. Załóżmy najpierw, że rzucamy sześciościenną kostką, a następnie rzucamy monetą. Te dwa wydarzenia są niezależne. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo głowy wynosi 1/2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 i uzyskanie głowy to 1/6 x 1/2 = 1/12.
Jeśli byliśmy skłonni do sceptycznego podejścia do tego wyniku, ten przykład jest na tyle mały, że wszystkie wyniki można wymienić: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Widzimy, że istnieje dwanaście wyników, z których wszystkie równie prawdopodobne są. Dlatego prawdopodobieństwo 1 i głowy wynosi 1/12. Reguła mnożenia była znacznie wydajniejsza, ponieważ nie wymagała od nas spisania całej przestrzeni próbki.
W drugim przykładzie załóżmy, że dobieramy kartę z standardowa talia, odłóż tę kartę, potasuj talię, a następnie ponownie wyciągnij. Następnie pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo, że obie karty są królami. Od kiedy narysowaliśmy z wymianą, zdarzenia te są niezależne i obowiązuje reguła mnożenia.
Prawdopodobieństwo dobrania króla dla pierwszej karty wynosi 1/13. Prawdopodobieństwo losowania króla przy drugim losowaniu wynosi 1/13. Powodem tego jest to, że zastępujemy króla, którego narysowaliśmy po raz pierwszy. Ponieważ te zdarzenia są niezależne, używamy reguły mnożenia, aby zobaczyć, że prawdopodobieństwo narysowania dwóch królów daje następujący iloczyn 1/13 x 1/13 = 1/169.
Gdybyśmy nie zastąpili króla, mielibyśmy inną sytuację, w której wydarzenia nie byłyby niezależne. Na prawdopodobieństwo losowania króla z drugiej karty miałby wpływ wynik pierwszej karty.