Co to jest rachunek różniczkowy? Definicja i praktyczne zastosowania

Rachunek różniczkowy jest gałęzią matematyki, która polega na badaniu szybkości zmian. Przed wynalezieniem rachunku różniczkowego cała matematyka była statyczna: mogła jedynie pomóc w obliczeniu obiektów, które były idealnie nieruchome. Ale wszechświat ciągle się porusza i zmienia. Żadne obiekty - od gwiazd w przestrzeni po subatomowe cząstki lub komórki w ciele - nie są zawsze w spoczynku. Rzeczywiście, prawie wszystko we wszechświecie nieustannie się porusza. Rachunek pomógł ustalić, w jaki sposób cząstki, gwiazdy i materia faktycznie poruszają się i zmieniają w czasie rzeczywistym.

Rachunek różniczkowy jest używany w wielu polach, które normalnie nie sądziłyby, że skorzystałyby z jego pojęć. Są wśród nich fizyka, inżynieria, ekonomia, statystyka i medycyna. Rachunek różniczkowy stosuje się również w tak różnych obszarach, jak podróże kosmiczne, a także do określania interakcji leków z ciałem, a nawet budowania bezpieczniejszych struktur. Zrozumiesz, dlaczego rachunek różniczkowy jest przydatny w tak wielu obszarach, jeśli wiesz trochę o jego historii, a także o tym, co ma robić i mierzyć.

Kluczowe informacje: podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego

Rachunek różniczkowy został opracowany w drugiej połowie XVII wieku przez dwóch matematyków, Gottfrieda Leibniza i Isaac Newton. Newton opracował najpierw rachunek różniczkowy i zastosował go bezpośrednio do zrozumienia układów fizycznych. Niezależnie Leibniz opracował oznaczenia stosowane w rachunku różniczkowym. Mówiąc prosto, podczas gdy podstawowa matematyka używa operacji takich jak plus, minus, czasy i dzielenie (+, -, x i ÷), rachunek różniczkowy wykorzystuje operacje, które wykorzystują funkcje i całki obliczyć tempo zmian.

Narzędzia te pozwoliły Newtonowi, Leibnizowi i innym matematykom, którzy śledzili obliczenia, takie jak dokładne nachylenie krzywej w dowolnym punkcie. Historia matematyki wyjaśnia znaczenie podstawowego twierdzenia Newtona dla rachunku różniczkowego i całkowego:

„W przeciwieństwie do statycznej geometrii Greków rachunek różniczkowy i matematyczny pozwolił zrozumieć matematykom i inżynierom ruch i dynamiczne zmiany w zmieniającym się świecie wokół nas, takie jak orbity planet, ruch płynów, itp."

Korzystając z rachunku różniczkowego, naukowcy, astronomowie, fizycy, matematycy i chemicy mogli teraz sporządzić mapę orbity planet i gwiazd, a także ścieżki elektronów i protonów na poziomie atomowym.

Istnieją dwie gałęzie rachunku różniczkowego: różniczkowy i całkowy. „Rachunek różniczkowy bada rachunek różniczkowy i całkowy... całka”, zauważa Massachusetts Institute of Technology. Ale jest w tym coś więcej. Rachunek różniczkowy określa szybkość zmiany ilości. Bada tempo zmian nachyleń i krzywych.

Branża ta zajmuje się badaniem tempa zmian funkcji w odniesieniu do ich zmiennych, szczególnie poprzez zastosowanie pochodnych i różnic. Pochodna to nachylenie linii na wykresie. Nachylenie linii można znaleźć, obliczając wstać z biegiem.

Rachunek całkowy, przeciwnie, stara się znaleźć ilość, przy której znane jest tempo zmian. Ta gałąź koncentruje się na takich koncepcjach, jak nachylenie linii stycznych i prędkości. Rachunek różniczkowy skupia się na samej krzywej, rachunek całkowy dotyczy jednak przestrzeni lub powierzchni pod krzywa. Rachunek całkowy służy do obliczenia całkowitego rozmiaru lub wartości, takich jak długości, obszary i objętości.

Rachunek odegrał integralną rolę w rozwój nawigacji w XVII i XVIII wieku, ponieważ pozwoliło to żeglarzom wykorzystać pozycję księżyca do dokładnego określenia czasu lokalnego. Aby sporządzić mapę swojej pozycji na morzu, nawigatorzy musieli być w stanie dokładnie zmierzyć czas i kąty. Przed opracowaniem rachunku różniczkowego nawigatorzy i kapitanowie statków nie mogli tego zrobić.

Rachunek różniczkowy - zarówno pochodny, jak i całkowy - pomógł lepiej zrozumieć tę ważną koncepcję w odniesieniu do krzywej Ziemi, statki odległości musiały pokonywać zakręty, aby dostać się do określonego miejsca, a nawet wyrównania Ziemi, mórz i statków w stosunku do gwiazdy.

Rachunek ma wiele praktycznych zastosowań w prawdziwym życiu. Niektóre pojęcia wykorzystujące rachunek różniczkowy obejmują ruch, elektryczność, ciepło, światło, harmoniczne, akustykę i astronomię. Rachunek jest wykorzystywany w geografii, wizji komputerowej (np. Do autonomicznej jazdy samochodem), fotografii, sztucznej inteligencji, robotyce, grach wideo, a nawet filmach. Rachunek jest również wykorzystywany do obliczania szybkości rozpadu radioaktywnego w chemii, a nawet do przewidywania liczby urodzeń i zgonów, a także w badaniach grawitacji i ruchu planet, przepływu płynu, projektowania statków, krzywych geometrycznych i inżynierii mostów.

Na przykład w fizyce rachunek różniczkowy służy do definiowania, wyjaśniania i obliczania ruchu, elektryczności, ciepła, światła, harmonicznych, akustyki, astronomii i dynamiki. Teoria względności Einsteina opiera się na rachunku różniczkowym i matematycznym, który pomaga także ekonomistom przewidzieć, jaki zysk może osiągnąć firma lub przemysł. I w okrętownictwo, rachunek różniczkowy służył od wielu lat do określenia zarówno krzywej kadłuba statku (przy użyciu mechanizmu różnicowego rachunek różniczkowy), a także obszar pod kadłubem (za pomocą rachunku całkowego), a nawet w ogólnym projekcie statki.

Ponadto rachunek różniczkowy służy do sprawdzania odpowiedzi dla różnych dyscyplin matematycznych, takich jak statystyka, geometria analityczna i algebra.

Ekonomiści używają rachunku do przewidywania podaży, popytu i maksymalnych potencjalnych zysków. W końcu podaż i popyt są zasadniczo nakreślone na krzywej - i to ciągle na krzywej.

Ekonomiści używają rachunku różniczkowego do określenia cenowa elastyczność popytu. Odnoszą się do ciągle zmieniającej się krzywej podaży i popytu jako „elastycznej”, a działania krzywej jako „elastycznej”. Aby obliczyć dokładną miarę sprężystości w danym przypadku punkt na krzywej podaży lub popytu, musisz pomyśleć o nieskończenie małych zmianach cen, a w rezultacie włączyć matematyczne pochodne do swojej elastyczności formuły. Rachunek pozwala określić określone punkty na tej stale zmieniającej się krzywej podaży i popytu.

„Podsumowanie rachunku całkowego”. Massachusetts Institute of Technology, 10 stycznia 2000 r., Cambridge, MA.