Definicja i zastosowanie związku w matematyce

Jedną operacją często używaną do tworzenia nowych zestawów ze starych nazywa się połączenie. W powszechnym użyciu słowo związek oznacza połączenie, takie jak związki w zorganizowanej pracy lub Państwo Unii adres, który USA Prezydent dokonuje przed wspólną sesją Kongresu. W sensie matematycznym połączenie dwóch zbiorów zachowuje ideę łączenia. Dokładniej, połączenie dwóch zbiorów ZA i b jest zbiorem wszystkich elementów x takie, że x jest elementem zestawu ZA lub x jest elementem zestawu b. Słowo, które oznacza, że ​​używamy związku, to słowo „lub”.

Kiedy używamy słowa „lub” w codziennych rozmowach, możemy nie zdawać sobie sprawy, że słowo to jest używane na dwa różne sposoby. Sposób zwykle wywodzi się z kontekstu rozmowy. Gdyby ktoś zapytał: „Czy chciałbyś kurczaka czy stek?” zwykle implikuje to, że możesz mieć jedno lub drugie, ale nie jedno i drugie. Porównaj to z pytaniem: „Czy chciałbyś masło lub śmietanę na swoim pieczonym ziemniaku?” Tutaj jest „lub” używane w znaczeniu obejmującym, ponieważ można wybierać tylko masło, tylko śmietanę lub zarówno masło, jak i kwaśne krem.

W matematyce słowo „lub” jest używane w znaczeniu włączającym. Więc stwierdzenie „x jest elementem ZA lub element b”oznacza, że ​​jedna z trzech jest możliwa:

• x jest elementem sprawiedliwego ZA a nie element b
• x jest elementem sprawiedliwego b a nie element ZA.
• x jest elementem obu ZA i b. (Można to również powiedzieć x jest elementem przecięcia ZA i b

Na przykład, w jaki sposób połączenie dwóch zbiorów tworzy nowy zbiór, rozważmy te zbiory ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć połączenie tych dwóch zestawów, po prostu wypisujemy każdy element, który widzimy, uważając, aby nie powielić żadnych elementów. Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 są w jednym zestawie lub w drugim, dlatego też związek ZA i b wynosi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Oprócz zrozumienia pojęć dotyczących operacji teorii mnogości ważna jest umiejętność czytania symboli używanych do oznaczania tych operacji. Symbol używany do połączenia dwóch zbiorów ZA i b jest dany przez ZA ∪ b. Jednym ze sposobów zapamiętania symbolu ∪ odnoszącego się do unii jest zauważenie jej podobieństwa do wielkiej litery U, czyli skrót od słowa „związek”. Bądź ostrożny, ponieważ symbol unii jest bardzo podobny do symbolu for skrzyżowanie. Jedno uzyskuje się od drugiego przez pionowe odwrócenie.

Aby zobaczyć ten zapis w działaniu, odwołaj się do powyższego przykładu. Tutaj mieliśmy zestawy ZA = {1, 2, 3, 4, 5} i b = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Napiszemy więc równanie ZA ∪ b = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Jedna podstawowa tożsamość, która obejmuje związek, pokazuje nam, co się dzieje, gdy weźmiemy związek dowolnego zestawu z pustym zestawem, oznaczonym przez # 8709. Pusty zestaw to zestaw bez elementów. Dołączenie tego do dowolnego innego zestawu nie przyniesie żadnego efektu. Innymi słowy, połączenie dowolnego zestawu z pustym zestawem przywróci nam oryginalny zestaw

Ta tożsamość staje się jeszcze bardziej zwarta dzięki naszemu zapisowi. Mamy tożsamość: ZA ∪ ∅ = ZA.

Z drugiej strony, co się dzieje, gdy badamy połączenie zestawu z zestawem uniwersalnym? Ponieważ zestaw uniwersalny zawiera każdy element, nie możemy dodać do tego niczego innego. Tak więc połączenie lub dowolny zestaw z zestawem uniwersalnym jest zestawem uniwersalnym.

Ponownie nasza notacja pomaga nam wyrazić tę tożsamość w bardziej zwartym formacie. Dla każdego zestawu ZA i zestaw uniwersalny U, ZA ∪ U = U.

Istnieje wiele innych zestawów tożsamości, które wymagają użycia operacji unii. Oczywiście zawsze dobrze jest ćwiczyć używając języka teorii mnogości. Kilka najważniejszych jest wymienionych poniżej. Do wszystkich zestawów ZA, i b i re mamy:

• Właściwość zwrotna: ZA ∪ ZA =ZA
• Własność przemienna: ZA ∪ b = b ∪ ZA
• Łączność: (ZA ∪ b) ∪ re =ZA ∪ (b ∪ re)
• Prawo DeMorgan I: (ZA ∩ b)^do = ZA^do ∪ b^do
• Prawo DeMorgan II: (ZA ∪ b)^do = ZA^do ∩ b^do