Ustaw teorię i sposób jej wykorzystania

Teoria zbiorów jest podstawową koncepcją w całej matematyce. Ta gałąź matematyki stanowi podstawę innych tematów.

Intuicyjnie zbiór to zbiór obiektów, które nazywane są elementami. Choć wydaje się to prostym pomysłem, ma on daleko idące konsekwencje.

Elementami zestawu może być naprawdę wszystko - liczby, stany, samochody, ludzie, a nawet inne zestawy to wszystkie możliwości elementów. Prawie wszystko, co można zebrać razem, może być użyte do stworzenia zestawu, choć jest kilka rzeczy, na które musimy uważać.

Elementy zestawu są albo w zestawie, albo nie w zestawie. Możemy opisać zestaw za pomocą właściwości definiującej lub możemy wymienić elementy w zestawie. Kolejność, w jakiej są wymienione, nie jest ważna. Zestawy {1, 2, 3} i {1, 3, 2} są jednakowymi zestawami, ponieważ oba zawierają te same elementy.

Dwa zestawy zasługują na szczególną uwagę. Pierwszy to zestaw uniwersalny, zwykle oznaczony U. Ten zestaw to wszystkie elementy, które możemy wybierać. Ten zestaw może różnić się w zależności od ustawienia. Na przykład jednym zestawem uniwersalnym może być zestaw

Drugi zestaw, który wymaga pewnej uwagi, nazywa się pusty zestaw. Pusty zestaw to unikalny zestaw to zestaw bez elementów. Możemy to zapisać jako {} i oznaczyć ten zestaw symbolem ∅.

Zbiór niektórych elementów zestawu ZA nazywa się podzbiór z ZA. Mówimy tak ZA jest podzbiorem b wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ZA jest również elementem b. Jeśli istnieje liczba skończona n elementów w zestawie, wtedy jest ich łącznie 2ⁿ podzbiory z ZA. Ta kolekcja wszystkich podzbiorów ZA jest zestawem o nazwie zestaw zasilający z ZA.

Tak jak możemy wykonywać operacje takie jak dodawanie - na dwóch liczbach w celu uzyskania nowej liczby, operacje teorii zbiorów są używane do utworzenia zbioru z dwóch innych zbiorów. Istnieje wiele operacji, ale prawie wszystkie składają się z następujących trzech operacji:

• Unia - Związek oznacza połączenie. Połączenie zbiorów ZA i b składa się z elementów, które są w jednym z nich ZA lub b.
• Skrzyżowanie - Na skrzyżowaniu spotykają się dwie rzeczy. Przecięcie zbiorów ZA i b składa się z elementów, które w obu ZA i b.
• Komplement - Uzupełnienie zestawu ZA składa się ze wszystkich elementów w zestawie uniwersalnym, które nie są elementami ZA.

Jednym z narzędzi pomocnych w zobrazowaniu zależności między różnymi zestawami jest diagram Venna. Prostokąt reprezentuje uniwersalny zestaw naszego problemu. Każdy zestaw jest reprezentowany przez okrąg. Jeśli koła nakładają się na siebie, ilustruje to przecięcie naszych dwóch zbiorów.

Teoria zbiorów jest stosowana w całej matematyce. Jest wykorzystywany jako podstawa dla wielu dziedzin matematyki. W obszarach odnoszących się do statystyki jest on szczególnie stosowany w prawdopodobieństwie. Wiele prawdopodobnych pojęć wywodzi się z konsekwencji teorii mnogości. Rzeczywiście, jednym ze sposobów na stwierdzenie aksjomaty prawdopodobieństwa dotyczy teorii mnogości.