Co to jest pusty zestaw w teorii zbiorów?

Kiedy nic nie może być czymś? To wydaje się głupie pytanie i dość paradoksalne. W matematycznym polu teorii mnogości rutyną jest, aby nic nie było niczym innym niż niczym. Jak to może być?

Kiedy tworzymy zestaw bez elementów, nie mamy już nic. Mamy zestaw bez niczego. Istnieje specjalna nazwa dla zestawu, która nie zawiera żadnych elementów. Nazywa się to zestawem pustym lub zerowym.

Definicja pustego zestawu jest dość subtelna i wymaga nieco przemyślenia. Ważne jest, aby pamiętać, że myślimy o zestaw jako zbiór elementów. Sam zestaw różni się od elementów, które zawiera.

Na przykład przyjrzymy się {5}, który jest zestawem zawierającym element 5. Zestaw {5} nie jest liczbą. Jest to zbiór z liczbą 5 jako elementem, podczas gdy 5 jest liczbą.

W podobny sposób pusty zestaw nie jest niczym. Zamiast tego jest to zestaw bez elementów. Pomaga myśleć o zestawach jako o pojemnikach, a elementami są te, które w nich wkładamy. Pusty pojemnik jest nadal pojemnikiem i jest analogiczny do pustego zestawu.

Pusty zestaw jest wyjątkowy i dlatego w pełni uzasadnione jest mówienie o nim pusty zestaw, a nie na pusty zestaw. To odróżnia pusty zestaw od innych zestawów. Istnieje nieskończenie wiele zestawów z jednym elementem. Zestawy {a}, {1}, {b} i {123} mają po jednym elemencie, a więc są sobie równe. Ponieważ same elementy różnią się od siebie, zestawy nie są równe.

W powyższych przykładach nie ma nic specjalnego z jednym elementem. Z jednym wyjątkiem, dla dowolnej liczby lub nieskończoności istnieje nieskończenie wiele zestawów tego rozmiaru. Wyjątkiem jest liczba zero. Jest tylko jeden zestaw, pusty zestaw bez elementów.

Matematyczny dowód tego faktu nie jest trudny. Najpierw zakładamy, że pusty zbiór nie jest unikalny, że istnieją dwa zbiory bez elementów, a następnie wykorzystujemy kilka właściwości z teorii zbiorów, aby pokazać, że to założenie implikuje sprzeczność.

Pusty zestaw jest oznaczony symbolem ∅, który pochodzi od podobnego symbolu w duńskim alfabecie. Niektóre książki odnoszą się do pustego zestawu alternatywną nazwą zestawu zerowego.

Ponieważ jest tylko jeden pusty zestaw, warto zobaczyć, co się stanie, gdy zestaw operacji przecięcie, połączenie i dopełnienie są używane z pustym zbiorem i ogólnym zestawem, który oznaczymy przez X. Interesujące jest również rozważenie podzbioru pustego zestawu, a kiedy pusty zbiór jest podzestawem. Fakty te zebrano poniżej:

• The skrzyżowanie dowolnego zestawu z pustym zestawem jest pustym zestawem. Jest tak, ponieważ w pustym zestawie nie ma żadnych elementów, a zatem oba zestawy nie mają wspólnych elementów. Piszemy w symbolach X ∩ ∅ = ∅.
• The unia dowolnego zestawu z pustym zestawem to zestaw, od którego zaczęliśmy. Wynika to z faktu, że w pustym zestawie nie ma żadnych elementów, dlatego też nie dodajemy żadnych elementów do drugiego zestawu podczas tworzenia unii. Piszemy w symbolach X U ∅ = X.
• The komplement pustego zestawu to zestaw uniwersalny dla ustawienia, w którym pracujemy. Wynika to z faktu, że zestaw wszystkich elementów, które nie znajdują się w pustym zestawie, jest tylko zbiorem wszystkich elementów.
• Pusty zestaw jest podzbiorem dowolnego zestawu. Jest tak, ponieważ tworzymy podzbiory zbioru X wybierając (lub nie wybierając) elementów z X. Jedną opcją dla podzbioru jest nieużywanie żadnych elementów X. To daje nam pusty zestaw.