Przykłady przedziałów ufności dla środków

Jedną z głównych części wnioskowania statystycznego jest opracowanie sposobów obliczania przedziały ufności. Przedziały ufności zapewniają nam sposób oszacowania populacji parametr. Zamiast powiedzieć, że parametr jest równy dokładnej wartości, mówimy, że parametr mieści się w zakresie wartości. Ten zakres wartości jest zazwyczaj wartością szacunkową wraz z marginesem błędu, który dodajemy i odejmujemy od wartości szacunkowej.

Do każdego przedziału dołączony jest poziom pewności. Poziom ufności określa, jak często w długim okresie metoda uzyskiwania naszego przedziału ufności rejestruje prawdziwy parametr populacji.

Przy poznawaniu statystyk pomocne jest zobaczenie kilku przykładów. Poniżej przyjrzymy się kilku przykładom przedziałów ufności dotyczących średniej populacji. Zobaczymy, że metoda, której używamy do skonstruowania przedziału ufności względem średniej, zależy od dalszych informacji o naszej populacji. W szczególności nasze podejście zależy od tego, czy znamy odchylenie standardowe populacji, czy nie.

Zaczynamy od prostej losowej próbki 25 określonych gatunków traszek i mierzymy ich ogony. Średnia długość ogona w naszej próbce wynosi 5 cm.

1. Jeśli wiemy, że 0,2 cm jest odchyleniem standardowym długości ogonów wszystkich traszek w populacji, to jaki jest 90% przedział ufności dla średniej długości ogona wszystkich traszek w populacji?
2. Jeśli wiemy, że 0,2 cm jest odchyleniem standardowym długości ogonów wszystkich traszek w populacji, to jaki jest 95% przedział ufności dla średniej długości ogona wszystkich traszek w populacji?
3. Jeśli okaże się, że 0,2 cm jest odchyleniem standardowym długości ogonów traszek w naszej próbce populacji, a następnie 90% przedział ufności dla średniej długości ogona wszystkich traszek w populacja?
4. Jeśli okaże się, że 0,2 cm jest odchyleniem standardowym długości ogonów traszek w naszej próbce populację, czyli jaki jest 95% przedział ufności dla średniej długości ogona wszystkich traszek w populacja?

Zaczynamy od analizy każdego z tych problemów. W pierwszych dwóch problemach my znać wartość odchylenia standardowego populacji. Różnica między tymi dwoma problemami polega na tym, że poziom ufności jest wyższy w # 2 niż w przypadku # 1.

W drugim dwa problemy odchylenie standardowe populacji nie jest znane. Dla tych dwóch problemów oszacujemy ten parametr z próbką odchylenie standardowe. Jak widzieliśmy w pierwszych dwóch problemach, tutaj również mamy różne poziomy zaufania.

Obliczymy rozwiązania dla każdego z powyższych problemów.

1. Ponieważ znamy odchylenie standardowe populacji, użyjemy tabeli wyników Z. Wartość z co odpowiada 90% przedziałowi ufności wynosi 1,645. Korzystając z wzór na margines błędu przedział ufności wynosi od 5 - 1,645 (0,2 / 5) do 5 + 1,645 (0,2 / 5). (5 tutaj w mianowniku wynika z tego, że wzięliśmy pierwiastek kwadratowy z 25). Po przeprowadzeniu arytmetyki mamy od 4,934 cm do 5,066 cm jako przedział ufności dla średniej populacji.
2. Ponieważ znamy odchylenie standardowe populacji, użyjemy tabeli wyników Z. Wartość z co odpowiada 95% przedziałowi ufności wynosi 1,96. Stosując wzór na margines błędu, mamy przedział ufności od 5 - 1,96 (0,2 / 5) do 5 + 1,96 (0,2 / 5). Po przeprowadzeniu arytmetyki mamy od 4,922 cm do 5,078 cm jako przedział ufności dla średniej populacji.
3. Tutaj nie znamy odchylenia standardowego populacji, tylko odchylenie standardowe próbki. Dlatego użyjemy tabeli wyników-t. Kiedy używamy tabeli t wyniki musimy wiedzieć, ile mamy stopni swobody. W tym przypadku istnieją 24 stopnie swobody, czyli o jeden mniej niż wielkość próbki 25. Wartość t co odpowiada 90% przedziałowi ufności wynosi 1,71. Stosując wzór na margines błędu, mamy przedział ufności od 5 - 1,71 (0,2 / 5) do 5 + 1,71 (0,2 / 5). Po przeprowadzeniu arytmetyki mamy od 4,932 cm do 5,068 cm jako przedział ufności dla średniej populacji.
4. Tutaj nie znamy odchylenia standardowego populacji, tylko odchylenie standardowe próbki. W ten sposób ponownie użyjemy tabeli wyników-t. Istnieją 24 stopnie swobody, czyli o jeden mniej niż wielkość próbki 25. Wartość t co odpowiada 95% przedziałowi ufności wynosi 2,06. Stosując wzór na margines błędu mamy przedział ufności od 5 - 2,06 (0,2 / 5) do 5 + 2,06 (0,2 / 5). Po przeprowadzeniu arytmetyki mamy od 4,912 cm do 5,082 cm jako przedział ufności dla średniej populacji.

Porównując te rozwiązania, należy zwrócić uwagę na kilka rzeczy. Po pierwsze, w każdym przypadku, gdy nasz poziom zaufania wzrastał, tym większa była wartość z lub t z tym skończyliśmy. Powodem tego jest to, że aby mieć większą pewność, że rzeczywiście uchwyciliśmy średnią populacji w naszym przedziale ufności, potrzebujemy szerszego przedziału.

Inną cechą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że dla określonego przedziału ufności używają t są szersze niż te z z. Powodem tego jest to, że: t rozkład ma większą zmienność w ogonach niż standardowy rozkład normalny.

Kluczem do prawidłowego rozwiązania tego rodzaju problemów jest to, że znając odchylenie standardowe populacji, korzystamy z tabeli z- wyniki. Jeśli nie znamy odchylenia standardowego populacji, wówczas stosujemy tabelę t wyniki.