Prawdopodobieństwo dużej prostej w Yahtzee w jednym rzucie

Yahtzee to gra w kości, która wykorzystuje pięć standardowych sześciościennych kości. W każdej turze gracze otrzymują trzy rzuty, aby uzyskać kilka różnych celów. Po każdym rzucie gracz może zdecydować, która z kości (jeśli w ogóle) ma zostać zachowana, a która ma zostać przerzucona. Cele obejmują różne rodzaje kombinacji, z których wiele pochodzi z pokera. Każda inna kombinacja jest warta inną liczbę punktów.

Nazywa się dwa rodzaje kombinacji, które gracze muszą rzucić proste: mała prosta i duża prosta. Podobnie jak poker poker, kombinacje te składają się z sekwencyjnych kości. Małe strity wykorzystują cztery z pięciu kości, a duże strity wykorzystują wszystkie pięć kości. Ze względu na losowość rzutu kostką, prawdopodobieństwo można wykorzystać do analizy prawdopodobieństwa rzutu dużą prostą w jednym rzucie.

Zakładamy, że użyte kości są uczciwe i niezależne od siebie. Tak więc istnieje jednolita przestrzeń próbki składająca się ze wszystkich możliwych rzutów pięciu kości. Chociaż Yahtzee dopuszcza trzy rzuty, dla uproszczenia rozważymy jedynie przypadek, w którym otrzymujemy dużą strit w jednym rzucie.

Ponieważ współpracujemy z mundurpróbka miejsca, obliczenie naszego prawdopodobieństwa staje się obliczeniem kilku problemów z liczeniem. Prawdopodobieństwo strita to liczba sposobów na wykonanie strita podzielona przez liczbę wyników w przestrzeni próbki.

Bardzo łatwo policzyć liczbę wyników w przestrzeni próbki. Rzucamy pięcioma kośćmi i każda z tych kości może mieć jeden z sześciu różnych wyników. Podstawowe zastosowanie zasady mnożenia mówi nam, że przestrzeń próbki ma 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 wyników. Ta liczba będzie mianownikiem wszystkich ułamków, których używamy dla naszych prawdopodobieństw.

Następnie musimy dowiedzieć się, ile jest sposobów na wyrzucenie dużej prostej. Jest to trudniejsze niż obliczenie wielkości przestrzeni próbki. Powodem, dla którego jest to trudniejsze, jest to, że w naszym liczeniu jest więcej subtelności.

Duża prosta jest trudniejsza do wyrzucenia niż mała prosta, ale łatwiej jest policzyć liczbę sposobów zrzucenia dużej prostej niż liczbę sposobów zrzucenia małej prostej. Ten typ prostej składa się z pięciu kolejnych liczb. Ponieważ na kostkach jest tylko sześć różnych liczb, istnieją tylko dwie możliwe duże proste: {1, 2, 3, 4, 5} i {2, 3, 4, 5, 6}.

Teraz określamy różną liczbę sposobów rzutu konkretnym zestawem kości, które dają nam strita. Dla dużego strita z kostkami {1, 2, 3, 4, 5} możemy mieć kostki w dowolnej kolejności. Poniżej przedstawiono różne sposoby przewijania tej samej prostej:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Wymienienie wszystkich możliwych sposobów uzyskania 1, 2, 3, 4 i 5 byłoby nudne. Ponieważ musimy tylko wiedzieć, na ile sposobów to zrobić, możemy zastosować podstawowe techniki liczenia. Zauważamy, że wszystko, co robimy, to permutacja pięć kości. Jest 5! = 120 sposobów na zrobienie tego. Ponieważ istnieją dwie kombinacje kości, aby utworzyć dużą strit, i 120 sposobów na wyrzucenie każdej z nich, istnieją 2 x 120 = 240 sposobów na wyrzucenie dużej strit.

Teraz prawdopodobieństwo potoczenia dużej prostej jest prostym obliczeniem podziału. Ponieważ istnieje 240 sposobów na wyrzucenie dużej prostej w jednym rzucie i jest 7776 zwojów pięciu możliwe kości, prawdopodobieństwo rzucenia dużą prostą wynosi 240/7776, co jest bliskie 1/32 i 3.1%.

Oczywiście bardziej prawdopodobne jest, że pierwszy rzut nie jest stritem. Jeśli tak jest, wówczas mamy dwa kolejne rzuty, co znacznie bardziej prawdopodobne. Prawdopodobieństwo tego jest znacznie trudniejsze do ustalenia ze względu na wszystkie możliwe sytuacje, które należałoby rozważyć.