Matematyczne właściwości fal

Fale fizyczne lub fale mechanicznepowstają w wyniku wibracji ośrodka, czy to struny, skorupy ziemskiej, czy cząstek gazów i płynów. Fale mają właściwości matematyczne, które można analizować w celu zrozumienia ruchu fali. W tym artykule przedstawiono te ogólne właściwości fal, a nie sposób ich zastosowania w określonych sytuacjach w fizyce.

Istnieją dwa rodzaje fal mechanicznych.

A jest takie, że przemieszczenia ośrodka są prostopadłe (poprzeczne) do kierunku przemieszczania się fali wzdłuż ośrodka. Drganie struny w ruchu okresowym, tak aby fale poruszały się wzdłuż niej, jest falą poprzeczną, podobnie jak fale w oceanie.

ZA fala podłużna jest taki, że przemieszczenia ośrodka są tam iz powrotem wzdłuż tego samego kierunku, co sama fala. Fale dźwiękowe, w których cząstki powietrza są popychane wzdłuż kierunku jazdy, są przykładem fali podłużnej.

Chociaż fale omówione w tym artykule będą dotyczyły podróży w ośrodku, wprowadzona tutaj matematyka może być wykorzystana do analizy właściwości fal niemechanicznych. Na przykład promieniowanie elektromagnetyczne jest w stanie podróżować przez pustą przestrzeń, ale nadal ma takie same właściwości matematyczne jak inne fale. Na przykład

1. Fale mogą być postrzegane jako zaburzenie w ośrodku wokół stanu równowagi, który zasadniczo jest w spoczynku. Energia tego zaburzenia powoduje ruch fali. Kałuża wody jest w równowadze, gdy nie ma fal, ale gdy tylko zostanie w nią wrzucony kamień, równowaga cząstek zostaje zakłócona i rozpoczyna się ruch fal.
2. Zakłócenie fali podróżuje, lub propaguje, z określoną prędkością, zwaną prędkość fali (v).
3. Fale transportują energię, ale nie mają znaczenia. Samo medium nie podróżuje; poszczególne cząstki poruszają się w przód iw tył lub w górę i w dół wokół pozycji równowagi.

Aby matematycznie opisać ruch fal, odwołujemy się do pojęcia a funkcja falowa, która opisuje pozycję cząstki w ośrodku w dowolnym momencie. Najbardziej podstawową funkcją fali jest fala sinusoidalna lub fala sinusoidalna, która jest falą sinusoidalną fala okresowa (tj. fala z powtarzalnym ruchem).

Należy zauważyć, że funkcja falowa nie przedstawia fali fizycznej, ale raczej wykres przemieszczenia wokół pozycji równowagi. Może to być mylące pojęcie, ale pożyteczną rzeczą jest to, że możemy użyć fali sinusoidalnej do przedstawienia większości okresowych ruchy, takie jak poruszanie się po okręgu lub kołysanie wahadła, które niekoniecznie wyglądają jak fale podczas oglądania rzeczywistych ruch.

• prędkość fali (v) - prędkość propagacji fali
• amplituda (ZA) - maksymalna wielkość przesunięcia od równowagi, w jednostkach SI metrów. Zasadniczo jest to odległość od środkowego punktu równowagi fali do jej maksymalnego przesunięcia lub połowa przemieszczenia fali.
• Kropka (T.) - to czas jednego cyklu fali (dwa impulsy lub od szczytu do szczytu lub od koryta do koryta), w jednostkach SI w sekundach (chociaż można go określić jako „sekund na cykl”).
• częstotliwość (fa) - liczba cykli w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości SI jest herc (Hz) i

  1 Hz = 1 cykl / s = 1 s^-1

• częstotliwość kątowa (ω) - wynosi 2π razy częstotliwość, w jednostkach SI radianów na sekundę.
• długość fali (λ) - odległość między dowolnymi dwoma punktami w odpowiednich pozycjach przy kolejnych powtórzeniach na fali, a więc (na przykład) od jednego grzbietu lub koryta do następnego, w Jednostki SI metrów.
• numer fali (k) - zwany także stała propagacji, ta użyteczna ilość jest zdefiniowana jako 2 π podzielone przez długość fali, więc jednostki SI to radiany na metr.
• puls - jedna połowa długości fali, od tyłu równowagi

Niektóre przydatne równania w definiowaniu powyższych wielkości to:

v = λ / T. = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T.

T. = 1 / fa = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Pionowe położenie punktu na fali, y, można znaleźć w funkcji pozycji poziomej, xi czas t, kiedy na to spojrzymy. Dziękujemy uprzejmym matematykom za wykonanie dla nas tej pracy i otrzymujemy następujące przydatne równania opisujące ruch falowy:

y(x, t) = ZA grzech ω(t - x/v) = ZA grzech 2π f(t - x/v)

y(x, t) = ZA grzech 2π(t/T. - x/v)

y (x, t) = ZA grzech (ω t - kx)

Ostatnią cechą funkcji falowej jest zastosowanie rachunek różniczkowy wziąć drugą pochodną daje równanie falowe, który jest intrygującym i czasem użytecznym produktem (za który jeszcze raz będziemy wdzięczni matematykom i przyjmiemy je bez udowodnienia):

re²y / dx² = (1 / v²) re²y / dt²

Druga pochodna y z szacunkiem do x jest równoważne drugiej pochodnej z y z szacunkiem do t podzielone przez kwadratową prędkość fali. Kluczowa przydatność tego równania jest taka ilekroć to nastąpi, wiemy, że funkcja y działa jak fala z prędkością fali v i dlatego, sytuację można opisać za pomocą funkcji fali.