Charakterystyka liczby rzeczywistej

Co to jest liczba? To zależy. Istnieje wiele różnych rodzajów liczb, z których każda ma swoje szczególne właściwości. Jeden rodzaj liczby, na którym Statystykaprawdopodobieństwo i wiele matematyki opiera się na liczbie rzeczywistej.

Aby dowiedzieć się, co to jest liczba rzeczywista, najpierw przeprowadzimy krótką prezentację innych rodzajów liczb.

Najpierw dowiadujemy się o liczbach, aby liczyć. Zaczęliśmy od dopasowania palcami liczb 1, 2 i 3. Potem my szliśmy tak wysoko, jak tylko mogliśmy, co prawdopodobnie nie było tak wysokie. Te liczby lub liczby naturalne były jedynymi znanymi nam liczbami.

Później, gdy mamy do czynienia z odejmowaniem, negatywny wprowadzono liczby całkowite. Zbiór liczb całkowitych dodatnich i ujemnych nazywa się zbiorem liczb całkowitych. Niedługo potem wzięto pod uwagę liczby wymierne, zwane również ułamkami. Ponieważ każda liczba całkowita może być zapisana jako ułamek z 1 w mianowniku, mówimy, że liczby całkowite tworzą podzbiór liczb wymiernych.

The starożytni Grecy zdałem sobie sprawę, że nie wszystkie liczby mogą być ułamkowe. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 2 nie może być wyrażony jako ułamek. Tego rodzaju liczby nazywane są liczbami niewymiernymi. Liczb nieracjonalnych jest mnóstwo, a nieco zaskakujące w pewnym sensie jest ich więcej niż liczb wymiernych. Inne nieracjonalne liczby obejmują Liczba Pi i mi.

Każda liczba rzeczywista może być zapisana w postaci dziesiętnej. Różne rodzaje liczb rzeczywistych mają różne rodzaje rozszerzeń dziesiętnych. Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej kończy się, na przykład 2, 3,25 lub 1,2342, lub jest powtarzane, na przykład 0,33333.. Lub .123123123.. . W przeciwieństwie do tego, dziesiętne rozwinięcie liczby niewymiernej jest nieskończone i niepowtarzalne. Widzimy to w dziesiętnym rozwinięciu liczby pi. Ciąg pi ma niekończący się ciąg cyfr, a ponadto nie ma ciągu cyfr, który w nieskończoność się powtarza.

Liczby rzeczywiste można wizualizować, łącząc każdy z nich z jednym z nieskończonej liczby punktów wzdłuż linii prostej. Liczby rzeczywiste mają porządek, co oznacza, że ​​dla dowolnych dwóch odrębnych liczb rzeczywistych możemy powiedzieć, że jedna jest większa od drugiej. Zgodnie z konwencją przesuwanie się w lewo wzdłuż rzeczywistej linii liczbowej odpowiada coraz mniejszym liczbom. Przesunięcie w prawo wzdłuż rzeczywistej linii liczbowej odpowiada coraz większym liczbom.

Liczby rzeczywiste zachowują się jak inne liczby, z którymi jesteśmy przyzwyczajeni. Możemy je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (o ile nie dzielimy przez zero). Kolejność dodawania i mnożenia jest nieistotna, ponieważ istnieje właściwość przemienna. Właściwość dystrybucyjna mówi nam, w jaki sposób mnożenie i dodawanie oddziałują na siebie.

Jak wspomniano wcześniej, liczby rzeczywiste posiadają porządek. Biorąc pod uwagę dowolne dwie liczby rzeczywiste x i ywiemy, że spełniony jest tylko jeden z poniższych warunków:

x = y, x < y lub x > y.

Właściwość, która odróżnia liczby rzeczywiste od innych zbiorów liczb, takich jak racjonalne, jest właściwością zwaną kompletnością. Kompletność jest nieco techniczna do wyjaśnienia, ale intuicyjne założenie jest takie, że zbiór liczb wymiernych zawiera luki. Zbiór liczb rzeczywistych nie ma żadnych przerw, ponieważ jest kompletny.

Jako przykład przyjrzymy się sekwencji liczb wymiernych 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Każdy termin tej sekwencji jest przybliżeniem liczby pi, uzyskanej przez obcięcie rozszerzenia dziesiętnego liczby pi. Warunki tej sekwencji stają się coraz bliższe pi. Jednak, jak wspomnieliśmy, pi nie jest liczbą wymierną. Musimy użyć liczb niewymiernych, aby zatkać dziury w linii liczbowej, które występują tylko przy uwzględnieniu liczb wymiernych.

Nie powinno być zaskoczeniem, że istnieje nieskończona liczba liczb rzeczywistych. Można to dość łatwo zauważyć, gdy weźmiemy pod uwagę, że liczby całkowite tworzą podzbiór liczb rzeczywistych. Moglibyśmy to również zauważyć, uświadamiając sobie, że linia liczbowa ma nieskończoną liczbę punktów.

Zaskakujące jest to, że nieskończoność używana do zliczania liczb rzeczywistych jest innego rodzaju niż nieskończoność używana do zliczania liczb całkowitych. Liczby całkowite, liczby całkowite i racjonalne są w nieskończoność nieskończone. Zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalnie nieskończony.

Liczby rzeczywiste mają swoją nazwę, aby odróżnić je od jeszcze większego uogólnienia koncepcji liczby. Liczba urojona ja jest zdefiniowany jako pierwiastek kwadratowy z ujemnego. Dowolna liczba rzeczywista pomnożona przez ja jest również znany jako liczba urojona. Wyimaginowane liczby zdecydowanie rozciągają nasze pojęcie liczby, ponieważ wcale nie są tym, o czym myśleliśmy, kiedy po raz pierwszy nauczyliśmy się liczyć.