Typowe przykłady zestawów niepoliczalnych

Nie wszystkie zestawy nieskończone są takie same. Jednym ze sposobów rozróżnienia tych zestawów jest pytanie, czy zestaw jest policzalny nieskończony albo nie. W ten sposób mówimy, że zbiory nieskończone są policzalne lub niepoliczalne. Rozważymy kilka przykładów zestawów nieskończonych i ustalimy, które z nich są niepoliczalne.

Zaczynamy od wykluczenia kilku przykładów zestawów nieskończonych. Wiele nieskończonych zbiorów, o których natychmiast pomyślelibyśmy, okazuje się być nieskończenie licznymi. Oznacza to, że można je umieścić w korespondencji jeden-do-jednego z liczbami naturalnymi.

Liczby naturalne, liczby całkowite i liczby wymierne są licznie nieskończone. Każde połączenie lub przecięcie niezliczonych zbiorów jest również policzalne. Iloczyn kartezjański dowolnej liczby zbiorów policzalnych. Każdy podzbiór zbioru policzalnego jest również policzalny.

Najczęstszym sposobem wprowadzania zbiorów niepoliczalnych jest uwzględnienie przedziału (0, 1) z

Cały zestaw liczb rzeczywistych jest również niepoliczalny. Jednym ze sposobów na wykazanie tego jest użycie funkcji stycznej jeden do jednego fa ( x ) = tan x. Dziedziną tej funkcji jest przedział (-π / 2, π / 2), zbiór niepoliczalny, a zakres to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Operacje podstawowej teorii zbiorów można wykorzystać do uzyskania większej liczby przykładów niezliczonych zbiorów nieskończonych:

• Gdyby ZA jest podzbiorem b i ZA jest niepoliczalne, więc tak jest b. Jest to prostszy dowód, że cały zestaw liczb rzeczywistych jest niepoliczalny.
• Gdyby ZA jest niepoliczalny i b jest dowolny zestaw, a następnie związek ZA U b jest również niepoliczalny.
• Gdyby ZA jest niepoliczalny i b to dowolny zestaw, a następnie iloczyn kartezjański ZA x b jest również niepoliczalny.
• Gdyby ZA jest nieskończony (a nawet nieskończenie nieskończony), to zestaw zasilający z ZA jest niepoliczalny.

Dwa inne przykłady, które są ze sobą powiązane, są nieco zaskakujące. Nie każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest nieskończenie nieskończony (w rzeczywistości liczby wymierne tworzą liczny podzbiór liczb rzeczywistych, który również jest gęsty). Niektóre podzbiory są niepoliczalnie nieskończone.

Jeden z tych niezliczonych nieskończonych podzbiorów obejmuje pewne typy rozszerzeń dziesiętnych. Jeśli wybierzemy dwie cyfry i utworzymy każde możliwe rozwinięcie dziesiętne tylko tymi dwiema cyframi, to wynikowy zestaw nieskończony jest niepoliczalny.

Kolejny zestaw jest bardziej skomplikowany w budowie i jest również niepoliczalny. Zacznij od zamkniętego przedziału [0,1]. Usuń środkową jedną trzecią tego zestawu, co spowoduje [0, 1/3] U [2/3, 1]. Teraz usuń środkową jedną trzecią każdego z pozostałych elementów zestawu. Tak więc (1/9, 2/9) i (7/9, 8/9) są usuwane. Kontynuujemy w ten sposób. Zbiór punktów, które pozostały po usunięciu wszystkich tych przedziałów, nie jest przedziałem, ale jest niepoliczalnie nieskończony. Ten zestaw nazywa się Zestawem Kantora.

Istnieje nieskończenie wiele niepoliczalnych zestawów, ale powyższe przykłady są jednymi z najczęściej spotykanych zestawów.