Różnice między populacją a odchyleniami standardowymi próbki

Rozważając odchylenia standardowe, może zaskoczyć fakt, że w rzeczywistości można wziąć pod uwagę dwa. Występuje odchylenie standardowe populacji i istnieje odchylenie standardowe próbki. Rozróżnimy oba z nich i podkreślimy ich różnice.

Chociaż oba odchylenia standardowe mierzą zmienność, istnieją różnice między populacją a a Odchylenie standardowe próbki. Pierwszy dotyczy rozróżnienia między statystyki i parametry. Odchylenie standardowe populacji jest parametrem, który jest stałą wartością obliczaną dla każdego osobnika w populacji.

Przykładowe odchylenie standardowe to statystyka. Oznacza to, że oblicza się ją tylko na podstawie niektórych osób w populacji. Ponieważ odchylenie standardowe próbki zależy od próbki, ma ona większą zmienność. Zatem odchylenie standardowe w próbie jest większe niż w populacji.

Zobaczymy, jak te dwa typy odchyleń standardowych różnią się od siebie liczbowo. Aby to zrobić, rozważamy wzory zarówno na odchylenie standardowe próbki, jak i na odchylenie standardowe populacji.

Wzory do obliczania obu tych odchyleń standardowych są prawie identyczne:

1. Oblicz średnią.
2. Odejmij średnią od każdej wartości, aby uzyskać odchylenia od średniej.
3. Wyrównaj każde odchylenie.
4. Dodaj wszystkie te kwadratowe odchylenia.

Teraz obliczenia tych odchyleń standardowych różnią się:

• Jeśli obliczamy odchylenie standardowe populacji, dzielimy przez n, liczba wartości danych.
• Jeśli obliczamy standardowe odchylenie próbki, dzielimy przez n -1, jeden mniej niż liczba wartości danych.

Ostatnim krokiem, w jednym z dwóch rozważanych przypadków, jest wyprowadzenie pierwiastka kwadratowego z ilorazu z poprzedniego kroku.

Im większa wartość n to im bliżej będą odchylenia standardowe w populacji i próbce.

Aby porównać te dwa obliczenia, zaczniemy od tego samego zestawu danych:

1, 2, 4, 5, 8

Następnie wykonujemy wszystkie kroki wspólne dla obu obliczeń. Następnie obliczenia będą się od siebie różnić i rozróżnimy populację i odchylenia standardowe próby.

Średnia to (1 + 2 + 4 + 5 + 8) / 5 = 20/5 = 4.

Odchylenia można znaleźć, odejmując średnią od każdej wartości:

• 1 - 4 = -3
• 2 - 4 = -2
• 4 - 4 = 0
• 5 - 4 = 1
• 8 - 4 = 4.

Odchylenia do kwadratu są następujące:

• (-3)² = 9
• (-2)² = 4
• 0² = 0
• 1² = 1
• 4² = 16

Teraz dodajemy te kwadratowe odchylenia i widzimy, że ich suma wynosi 9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30.

W naszych pierwszych obliczeniach będziemy traktować nasze dane tak, jakby była to cała populacja. Dzielimy przez liczbę punktów danych, która wynosi pięć. Oznacza to, że populacja zmienność wynosi 30/5 = 6. Odchylenie standardowe populacji to pierwiastek kwadratowy z 6. To około 2,4495.

W drugim obliczeniu będziemy traktować nasze dane tak, jakby były próbą, a nie całą populacją. Dzielimy przez jeden mniej niż liczbę punktów danych. W tym przypadku dzielimy przez cztery. Oznacza to, że wariancja próbki wynosi 30/4 = 7,5. Przykładowym odchyleniem standardowym jest pierwiastek kwadratowy z 7,5. To około 2,7386.

Z tego przykładu bardzo wyraźnie wynika, że ​​istnieje różnica między odchyleniem standardowym populacji i próby.